Algebra Beispiele

$- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 8$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} + 8 + 6 x^{2} - 12 x$

Schritt 2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3} + 8$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- (x^{3}) + 8 + 6 x^{2} - 12 x$

Schritt 2.2

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$- (x^{3}) - 1 (- 8) + 6 x^{2} - 12 x$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - 1 (- 8)$ heraus.

$- (x^{3} - 8) + 6 x^{2} - 12 x$

Schritt 3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- (x^{3} - 2^{3}) + 6 x^{2} - 12 x$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) + 6 x^{2} - 12 x$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) + 6 x^{2} - 12 x$

Schritt 5.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) + 6 x^{2} - 12 x$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x^{2} - 12 x$

Schritt 6

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{2} - 12 x$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x (x) - 12 x$

Schritt 6.2

Faktorisiere $6 x$ aus $- 12 x$ heraus.

$- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x (x) + 6 x (- 2)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x) + 6 x (- 2)$ heraus.

$- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x (x - 2)$

Schritt 7

Faktorisiere $x - 2$ aus $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x (x - 2)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ heraus.

$(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + 6 x (x - 2)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $6 x (x - 2)$ heraus.

$(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (6 x)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (6 x)$ heraus.

$(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x)$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 2) (- 1 x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 6 x)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$(x - 2) (- x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 6 x)$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x - 2) (- x^{2} - 2 x - 1 \cdot 4 + 6 x)$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(x - 2) (- x^{2} - 2 x - 4 + 6 x)$

Schritt 10

Addiere $- 2 x$ und $6 x$ .

$(x - 2) (- x^{2} + 4 x - 4)$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 11.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 11.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$(x - 2) (- x^{2} + 4 (x) - 4)$

Schritt 11.1.1.2

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$(x - 2) (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)$

Schritt 11.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 2) (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)$

Schritt 11.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 2) ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)$

Schritt 11.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 2) (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$(x - 2) ((- x + 2) (x - 2))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) (- x + 2) (x - 2)$

Schritt 12

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$(- 1 (- x) - 2) (- x + 2) (x - 2)$

Schritt 12.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$(- 1 (- x) - 1 (2)) (- x + 2) (x - 2)$

Schritt 12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (2)$ heraus.

$- 1 (- x + 2) (- x + 2) (x - 2)$

Schritt 12.4

Potenziere $- x + 2$ mit $1$ .

$- 1 ({(- x + 2)}^{1} (- x + 2)) (x - 2)$

Schritt 12.5

Potenziere $- x + 2$ mit $1$ .

$- 1 ({(- x + 2)}^{1} {(- x + 2)}^{1}) (x - 2)$

Schritt 12.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 {(- x + 2)}^{1 + 1} (x - 2)$

Schritt 12.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 {(- x + 2)}^{2} (x - 2)$

Schritt 12.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- 1 {(- (x) + 2)}^{2} (x - 2)$

Schritt 12.9

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- 1 {(- (x) - 1 (- 2))}^{2} (x - 2)$

Schritt 12.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$- 1 {(- (x - 2))}^{2} (x - 2)$

Schritt 12.11

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$- 1 {(- 1 (x - 2))}^{2} (x - 2)$

Schritt 12.12

Wende die Produktregel auf $- 1 (x - 2)$ an.

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}) (x - 2)$

Schritt 12.13

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 (1 {(x - 2)}^{2}) (x - 2)$

Schritt 12.14

Mutltipliziere ${(x - 2)}^{2}$ mit $1$ .

$- 1 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Schritt 12.15

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2})$

Schritt 12.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 {(x - 2)}^{1 + 2}$

Schritt 12.17

Addiere $1$ und $2$ .

$- 1 {(x - 2)}^{3}$