Algebra Beispiele

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $x + \frac{1}{x} \geq 2$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $x + \frac{1}{x} \geq 2$ mit $x$ .

$x \cdot x + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Schritt 2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

Schritt 3

Löse die Ungleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} + 1 - 2 x \geq 0$

Schritt 3.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 1 - 2 x = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.1

Ordne Terme um.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Schritt 3.3.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.3.4

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $x + \frac{1}{x} - 2$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) + \frac{1}{- 2} \geq 2$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $- 2.5$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(0.5) + \frac{1}{0.5} \geq 2$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $2.5$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4) + \frac{1}{4} \geq 2$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $4.25$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Wahr

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Wahr

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x \leq 1$ oder $x \geq 1$

Schritt 8

Vereine die Intervalle.

$x > 0$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x > 0$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Schritt 10