Algebra Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{3} \cdot 6^{x} + 5$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{1}{3} \cdot 6^{x} + 5$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} \cdot 6^{x} + 5 = 0$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot 6^{x} + 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $6^{x}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{6^{x}}{3} + 5 = 0$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{6^{x}}{3} = - 5$

Schritt 1.2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{6^{x}}{3}) = - 3 \cdot - 5$

Schritt 1.2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{6^{x}}{3})$ .

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Schritt 1.2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6^{x}}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- 6^{x}}{3} = - 3 \cdot - 5$

Schritt 1.2.5.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- 6^{x}}{3} = - 3 \cdot - 5$

Schritt 1.2.5.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- 6^{x}}{3} = - 3 \cdot - 5$

Schritt 1.2.5.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - 6^{x} = - 3 \cdot - 5$

Schritt 1.2.5.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \cdot 6^{x} = - 3 \cdot - 5$

Schritt 1.2.5.1.1.2.2

Mutltipliziere $6^{x}$ mit $1$ .

$6^{x} = - 3 \cdot - 5$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 5$ .

$6^{x} = 15$

Schritt 1.2.6

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (6^{x}) = \ln (15)$

Schritt 1.2.7

Zerlege $\ln (6^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (6) = \ln (15)$

Schritt 1.2.8

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (6) = \ln (15)$ durch $\ln (6)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (6) = \ln (15)$ durch $\ln (6)$ .

$\frac{x \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (15)}{\ln (6)}$

Schritt 1.2.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (6)$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (15)}{\ln (6)}$

Schritt 1.2.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (15)}{\ln (6)}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{\ln (15)}{\ln (6)}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{1}{3} \cdot 6^{0} + 5$

Schritt 2.2

Vereinfache $- \frac{1}{3} \cdot 6^{0} + 5$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot 1 + 5$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - \frac{1}{3} + 5$

Schritt 2.2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 + 5 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y = \frac{- 1 + 15}{3}$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $- 1$ und $15$ .

$y = \frac{14}{3}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{14}{3})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{\ln (15)}{\ln (6)}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{14}{3})$

Schritt 4