Algebra Beispiele

$x^{4} - 128 x^{\frac{13}{5}} = 0$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{13}{5}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{20}{13}} - 128 x^{\frac{13}{5}}$

Schritt 2

Ersetze $x^{\frac{13}{5}}$ durch $u$ .

${(u)}^{\frac{20}{13}} - 128 u = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{\frac{20}{13}} - 128 u$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{\frac{20}{13}}$ heraus.

$u \cdot u^{\frac{7}{13}} - 128 u = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $u$ aus $- 128 u$ heraus.

$u \cdot u^{\frac{7}{13}} + u \cdot - 128 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u^{\frac{7}{13}} + u \cdot - 128$ heraus.

$u (u^{\frac{7}{13}} - 128) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{7}{13}} - 128 = 0$

Schritt 3.3

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 3.4

Setze $u^{\frac{7}{13}} - 128$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $u^{\frac{7}{13}} - 128$ gleich $0$ .

$u^{\frac{7}{13}} - 128 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $u^{\frac{7}{13}} - 128 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $128$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{\frac{7}{13}} = 128$

Schritt 3.4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{13}{7}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(u^{\frac{7}{13}})}^{\frac{13}{7}} = 128^{\frac{13}{7}}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Vereinfache ${(u^{\frac{7}{13}})}^{\frac{13}{7}}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{7}{13}})}^{\frac{13}{7}}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{7}{13} \cdot \frac{13}{7}} = 128^{\frac{13}{7}}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{7}{13} \cdot \frac{13}{7}} = 128^{\frac{13}{7}}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{\frac{1}{13} \cdot 13} = 128^{\frac{13}{7}}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{13} \cdot 13} = 128^{\frac{13}{7}}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{1} = 128^{\frac{13}{7}}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$u = 128^{\frac{13}{7}}$

Schritt 3.4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.2.1

Vereinfache $128^{\frac{13}{7}}$ .

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Schritt 3.4.2.3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.2.3.2.1.1.1

Schreibe $128$ als $2^{7}$ um.

$u = {(2^{7})}^{\frac{13}{7}}$

Schritt 3.4.2.3.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = 2^{7 (\frac{13}{7})}$

Schritt 3.4.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.4.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = 2^{7 (\frac{13}{7})}$

Schritt 3.4.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u = 2^{13}$

Schritt 3.4.2.3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $13$ .

$u = 8192$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u^{\frac{7}{13}} - 128) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 8192$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{13}{5}} = 0, 8192$

Schritt 5

Löse nach $x^{\frac{13}{5}} = 0$ auf für $x$ .

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Schritt 5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{13}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}} = 0^{\frac{5}{13}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{13}{5} \cdot \frac{5}{13}} = 0^{\frac{5}{13}}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{13}{5} \cdot \frac{5}{13}} = 0^{\frac{5}{13}}$

Schritt 5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{13}}$

Schritt 5.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{13}}$

Schritt 5.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{\frac{5}{13}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{\frac{5}{13}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $0^{\frac{5}{13}}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{13}$ um.

$x = {(0^{13})}^{\frac{5}{13}}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 0^{13 (\frac{5}{13})}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 0^{13 (\frac{5}{13})}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 0^{5}$

Schritt 5.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Löse nach $x^{\frac{13}{5}} = 8192$ auf für $x$ .

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Schritt 6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{13}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{13}{5} \cdot \frac{5}{13}} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{13}{5} \cdot \frac{5}{13}} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Schritt 6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Schritt 6.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Schritt 6.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 8192^{\frac{5}{13}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $8192^{\frac{5}{13}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Schreibe $8192$ als $2^{13}$ um.

$x = {(2^{13})}^{\frac{5}{13}}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{13 (\frac{5}{13})}$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2^{13 (\frac{5}{13})}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2^{5}$

Schritt 6.2.2.1.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$x = 32$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0, 32$