Algebra Beispiele

$f (x) < {(x - 1)}^{2} - 1$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$f (x) < (x - 1) (x - 1) - 1$

Schritt 1.1.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) < x (x - 1) - 1 (x - 1) - 1$

Schritt 1.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) < x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 1$

Schritt 1.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) < x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) < x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) < x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Schritt 1.1.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (x) < x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Schritt 1.1.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (x) < x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 1$

Schritt 1.1.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x) < x^{2} - x - x + 1 - 1$

Schritt 1.1.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Schritt 1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x + 0$

Schritt 1.1.2.2

Addiere $x^{2} - 2 x$ und $0$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $f (x)$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$0 < x^{2} - 2 x - f (x)$

Schritt 2

Ermittle Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse für die Grenzlinie.

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Schritt 2.1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 2.1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.1.2

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$x^{2} - 2 x - f (x) > 0$

Schritt 2.1.3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 2 x - f (x) = 0$

Schritt 2.1.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.1.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - f (x)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- f (x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.1.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.6.1.3

Schreibe $4 + 4 f (x)$ als $2^{2} (1 + f (x))$ um.

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Schritt 2.1.6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.6.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 f (x)$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.6.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (f (x))$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.6.1.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Schritt 2.1.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Schritt 2.1.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.1.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.7.1.3

Schreibe $4 + 4 f (x)$ als $2^{2} (1 + f (x))$ um.

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Schritt 2.1.7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.7.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 f (x)$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.7.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (f (x))$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.7.1.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.7.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Schritt 2.1.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Schritt 2.1.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{1 + f (x)}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.1.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.8.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.8.1.3

Schreibe $4 + 4 f (x)$ als $2^{2} (1 + f (x))$ um.

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Schritt 2.1.8.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.8.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 f (x)$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.8.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (f (x))$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.8.1.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.8.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Schritt 2.1.8.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Schritt 2.1.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{1 + f (x)}$

Schritt 2.1.9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1 + \sqrt{1 + f (x)}, 1 - \sqrt{1 + f (x)}$

Schritt 2.2

Die Gleichung ist nicht linear, und folglich existiert keine konstante Steigung.

Nicht linear

Schritt 3

Zeichne eine gestrichelte Linie und schraffiere dann die Fläche unterhalb der Grenzlinie, da $y$ kleiner als $x^{2} - 2 x - f (x)$ ist.

$0 < x^{2} - 2 x - f (x)$

Schritt 4