Algebra Beispiele

$\frac{5}{4 x^{2}} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6 x^{2}}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5}{4 x^{2}} = \frac{3}{6 x^{2}} + \frac{1}{3}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{5}{4 x^{2}} = \frac{3 (1)}{6 x^{2}} + \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{5}{4 x^{2}} = \frac{3 (1)}{3 (2 x^{2})} + \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{4 x^{2}} = \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{2})} + \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{3}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 x^{2}, 2 x^{2}, 3$

Schritt 2.2

Da $4 x^{2}, 2 x^{2}, 3$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $4, 2, 3$ und anschließend für den variablen Teil $x^{2}, x^{2}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 2.5

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 2.6

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 2.7

Das kgV von $4, 2, 3$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 2.8

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 3$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12$

Schritt 2.9

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.10

Das kgV von $x^{2}, x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 2.12

Das kgV von $4 x^{2}, 2 x^{2}, 3$ ist der numerische Teil $12$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$12 x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{3}$ mit $12 x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{3}$ mit $12 x^{2}$ .

$\frac{5}{4 x^{2}} (12 x^{2}) = \frac{1}{2 x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{2 x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (3) \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{2 x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 (3) \frac{5}{4 (x^{2})} x^{2} = \frac{1}{2 x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 3 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{2 x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{2 x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{2 x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{2 x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{2 x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$15 = \frac{1}{2 x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$15 = 12 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2} + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$15 = 2 (6) \frac{1}{2 x^{2}} x^{2} + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$15 = 2 (6) \frac{1}{2 (x^{2})} x^{2} + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 = 2 \cdot 6 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2} + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$15 = 6 \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.3.1.3

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$15 = \frac{6}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 = \frac{6}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$15 = 6 + \frac{1}{3} (12 x^{2})$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$15 = 6 + \frac{1}{3} (3 (4 x^{2}))$

Schritt 3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 = 6 + \frac{1}{3} (3 (4 x^{2}))$

Schritt 3.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$15 = 6 + 4 x^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $6 + 4 x^{2} = 15$ um.

$6 + 4 x^{2} = 15$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 15 - 6$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $6$ von $15$ .

$4 x^{2} = 9$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 9$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 9$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{9}{4}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{9}{4}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{4}$

Schritt 4.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$

Schritt 4.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{9}{4}}$ .

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Schritt 4.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{4}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{3}{2}$

Schritt 4.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 4.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 4.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.5, - 1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{1}{2}, - 1 \frac{1}{2}$