Algebra Beispiele

$\frac{1}{x} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x} - \frac{x}{6} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 2

Stelle die Terme um.

$- \frac{x}{6} + \frac{1}{x} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 3

Um $- \frac{x}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{x}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 4

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{x}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{x}{6}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{x \cdot x}{6 x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{x \cdot x}{6 x} + \frac{6}{x \cdot 6} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 6$ um.

$- \frac{x \cdot x}{6 x} + \frac{6}{6 x} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x \cdot x + 6}{6 x} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) + 6}{6 x} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- x^{2} + 6}{6 x} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 8

Um $- \frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{- x^{2} + 6}{6 x} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 x}{2 x} = 0$

Schritt 9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{- x^{2} + 6}{6 x} - \frac{2 (2 x)}{3 (2 x)} = 0$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- x^{2} + 6}{6 x} - \frac{2 (2 x)}{6 x} = 0$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} + 6 - 2 (2 x)}{6 x} = 0$

Schritt 11

Entferne die Klammern.

$\frac{- x^{2} + 6 - 2 \cdot (2 x)}{6 x} = 0$

Schritt 12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- x^{2} + 6 - 4 x}{6 x} = 0$

Schritt 12.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} - 4 x + 6}{6 x} = 0$

Schritt 13

Setze den Zähler gleich Null.

$- x^{2} - 4 x + 6 = 0$

Schritt 14

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 14.2

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 4$ und $c = 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 6)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.3

Vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 6$ .

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Schritt 14.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.3.1.3

Addiere $16$ und $24$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.3.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 14.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{- 2}$

Schritt 14.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 14.3.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{10}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{10})$

Schritt 14.3.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{10})$ als $- (2 \pm \sqrt{10})$ um.

$x = - (2 \pm \sqrt{10})$

Schritt 14.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 14.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 6$ .

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Schritt 14.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.4.1.3

Addiere $16$ und $24$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.4.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 14.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{- 2}$

Schritt 14.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 14.4.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{10}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{10})$

Schritt 14.4.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{10})$ als $- (2 \pm \sqrt{10})$ um.

$x = - (2 \pm \sqrt{10})$

Schritt 14.4.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - (2 + \sqrt{10})$

Schritt 14.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 2 - \sqrt{10}$

Schritt 14.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2 - \sqrt{10}$

Schritt 14.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 14.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 6$ .

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Schritt 14.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.5.1.3

Addiere $16$ und $24$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.5.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 14.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 14.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{- 2}$

Schritt 14.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 14.5.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{10}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{10})$

Schritt 14.5.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{10})$ als $- (2 \pm \sqrt{10})$ um.

$x = - (2 \pm \sqrt{10})$

Schritt 14.5.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - (2 - \sqrt{10})$

Schritt 14.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 2 + \sqrt{10}$

Schritt 14.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2 + \sqrt{10}$

Schritt 14.5.9

Multipliziere $- - \sqrt{10}$ .

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Schritt 14.5.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = - 2 + 1 \sqrt{10}$

Schritt 14.5.9.2

Mutltipliziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$x = - 2 + \sqrt{10}$

Schritt 14.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 - \sqrt{10}, - 2 + \sqrt{10}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 2 - \sqrt{10}, - 2 + \sqrt{10}$

Dezimalform:

$x = - 5.16227766 \dots, 1.16227766 \dots$