Algebra Beispiele

$f (x) < 3 {(x - 2)}^{2} - 5$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache $3 {(x - 2)}^{2} - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$f (x) < 3 ((x - 2) (x - 2)) - 5$

Schritt 1.1.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) < 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 5$

Schritt 1.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) < 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 5$

Schritt 1.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) < 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Schritt 1.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 5$

Schritt 1.1.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 4 x + 4) - 5$

Schritt 1.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) < 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 - 5$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 - 5$

Schritt 1.1.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 12 - 5$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $5$ von $12$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 7$

Schritt 1.2

Subtrahiere $f (x)$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$0 < 3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$

Schritt 2

Ermittle Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse für die Grenzlinie.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Forme zur Normalform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.1.2

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x) > 0$

Schritt 2.1.3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x) = 0$

Schritt 2.1.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.1.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 12$ und $c = 7 - f (x)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (7 - f (x)))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.1.6

Subtrahiere $84$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.7.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.1.6

Subtrahiere $84$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{12 + \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.8.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.1.6

Subtrahiere $84$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{12 - \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{12 + \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}, \frac{12 - \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.10

Ordne das Polynom so, dass es der $y = m x + b$ -Form für Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht.

$3 x^{2} - 12 x = f (x) - 7$

Schritt 2.2

Die Gleichung ist nicht linear, und folglich existiert keine konstante Steigung.

Nicht linear

Schritt 3

Zeichne eine gestrichelte Linie und schraffiere dann die Fläche unterhalb der Grenzlinie, da $y$ kleiner als $3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$ ist.

$0 < 3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$

Schritt 4