Algebra Beispiele

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (g (x))$

Schritt 2

Berechne $f (\sqrt{1 - x^{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $f$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {(\sqrt{1 - x^{2}})}^{2}$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Schritt 5

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = (1 + x) (1 - x)$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = (1 + x) (1 - x)$

Schritt 6

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Schritt 7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x + x (- x)$

Schritt 7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - x \cdot x$

Schritt 7.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.5.1

Bewege $x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - (x \cdot x)$

Schritt 7.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - x^{2}$

Schritt 7.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 + 0 - x^{2}$

Schritt 7.3

Addiere $1$ und $0$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x^{2}$

Schritt 8

Stelle $1$ und $- x^{2}$ um.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = - x^{2} + 1$