Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + x - 2}{x - 3} = - 3$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3} = - 3$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x - 3, 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x - 3, 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x - 3$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3} = - 3$ mit $x - 3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3} = - 3$ mit $x - 3$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3} (x - 3) = - 3 (x - 3)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3} (x - 3) = - 3 (x - 3)$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x - 1) (x + 2) = - 3 (x - 3)$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(x - 1) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 2) - 1 (x + 2) = - 3 (x - 3)$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2) = - 3 (x - 3)$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2 = - 3 (x - 3)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2 = - 3 (x - 3)$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2 = - 3 (x - 3)$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2 = - 3 (x - 3)$

Schritt 3.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} + 2 x - x - 2 = - 3 (x - 3)$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$x^{2} + x - 2 = - 3 (x - 3)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x - 2 = - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$x^{2} + x - 2 = - 3 x + 9$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - 2 + 3 x = 9$

Schritt 4.1.2

Addiere $x$ und $3 x$ .

$x^{2} + 4 x - 2 = 9$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x - 2 - 9 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $9$ von $- 2$ .

$x^{2} + 4 x - 11 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = - 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 11$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Addiere $16$ und $44$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{15}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + \sqrt{15}, - 2 - \sqrt{15}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 2 + \sqrt{15}, - 2 - \sqrt{15}$

Dezimalform:

$x = 1.87298334 \dots, - 5.87298334 \dots$