Algebra Beispiele

$\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 4}{3 x + 2}) = 1$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x + 2}) = 1$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x + 2)$

Schritt 4

Vereinfache $3 (3 x + 2)$ .

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x) + 3 \cdot 2$

Schritt 4.2

Multipliziere.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 3 \cdot 2$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 6$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x + 2) (x - 2) - 9 x = 6$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 2) + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Schritt 5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Schritt 5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 5.2.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 4 - 9 x = 6$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 9 x = 6 + 4$

Schritt 6.2

Addiere $6$ und $4$ .

$x^{2} - 9 x = 10$

Schritt 7

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 9 x - 10 = 0$

Schritt 8

Faktorisiere $x^{2} - 9 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 10, 1$

Schritt 8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 10) (x + 1) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 10

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 11

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 10) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 10, - 1$

Schritt 13

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$ nicht erfüllen.

$x = 10$