Algebra Beispiele

$\frac{x - 2}{x + 3} < \frac{x + 1}{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x + 1}{x}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{x + 1}{x} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{x + 1}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{x - 2}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x + 1}{x} < 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{x + 1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 3) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x - 2}{x + 3}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 2) x}{(x + 3) x} - \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{x}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x - 2) x}{(x + 3) x} - \frac{(x + 1) (x + 3)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + 3) x$ um.

$\frac{(x - 2) x}{x (x + 3)} - \frac{(x + 1) (x + 3)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 2) x - (x + 1) (x + 3)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x - 2 x - (x + 1) (x + 3)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - (x + 1) (x + 3)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 1 \cdot 1) (x + 3)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 1) (x + 3)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.5

Multipliziere $(- x - 1) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x - x (x + 3) - 1 (x + 3)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot 3 - 1 (x + 3)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - (x \cdot x) - x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 3 x - 1 x - 1 \cdot 3}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot 3}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 3 x - x - 3}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.6.2

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 4 x - 3}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.7

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- 2 x + 0 - 4 x - 3}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.8

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$\frac{- 2 x - 4 x - 3}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.9

Subtrahiere $4 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{- 6 x - 3}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.10

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x - 3$ heraus.

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Schritt 2.5.10.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x) - 3}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.10.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 1)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.5.10.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 2 x) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x - 1)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x) - 1)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (1))}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x + 1))}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (2 x + 1)$ als $- 1 (2 x + 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (2 x + 1))}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (2 x + 1)}{x (x + 3)} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - \frac{1}{2}, - 3$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{3 (2 x + 1)}{x (x + 3)}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{3 (2 x + 1)}{x (x + 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (x + 3) = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 9.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 9.2.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 9.2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$x > 0$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) + 1}{- 6}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $2.\overline{6}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.8\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 2) - 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) + 1}{- 2}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 4$ ist kleiner als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.25$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $- 0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 0.25) - 2}{(- 0.25) + 3} < \frac{(- 0.25) + 1}{- 0.25}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{81}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(2) - 2}{(2) + 3} < \frac{(2) + 1}{2}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $1.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ oder $x > 0$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 3 < x < - \frac{1}{2} or x > 0$

Intervallschreibweise:

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (0, \infty)$

Schritt 14