Algebra Beispiele

$\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}} = \sqrt{\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}} = \sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}$ um.

$\sqrt{\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}} = \sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}}}^{2} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}}$ als ${(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{1} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $126 x y^{5}$ heraus.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{2 (63 x y^{5})}{32 x^{3}}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $32 x^{3}$ heraus.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{2 (63 x y^{5})}{2 (16 x^{3})}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{2 (63 x y^{5})}{2 (16 x^{3})}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{63 x y^{5}}{16 x^{3}}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $63 x y^{5}$ heraus.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{x (63 y^{5})}{16 x^{3}}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $16 x^{3}$ heraus.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{x (63 y^{5})}{x (16 x^{2})}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{x (63 y^{5})}{x (16 x^{2})}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3

Schreibe $\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}}$ als ${(\frac{3 y^{2}}{4 x})}^{2} (7 y)$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(3 y^{2})}^{2}$ aus $63 y^{5}$ heraus.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{{(3 y^{2})}^{2} \cdot (7 y)}{16 x^{2}}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(4 x)}^{2}$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{{(3 y^{2})}^{2} \cdot (7 y)}{{(4 x)}^{2} \cdot 1}}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.3

Ordne den Bruch $\frac{{(3 y^{2})}^{2} \cdot (7 y)}{{(4 x)}^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{{(\frac{3 y^{2}}{4 x})}^{2} (7 y)}}^{2}$

Schritt 3.3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {(\frac{3 y^{2}}{4 x} \sqrt{7 y})}^{2}$

Schritt 3.3.1.5

Kombiniere $\frac{3 y^{2}}{4 x}$ und $\sqrt{7 y}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {(\frac{3 y^{2} \sqrt{7 y}}{4 x})}^{2}$

Schritt 3.3.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.1.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 y^{2} \sqrt{7 y}}{4 x}$ an.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{{(3 y^{2} \sqrt{7 y})}^{2}}{{(4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.2

Wende die Produktregel auf $3 y^{2} \sqrt{7 y}$ an.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{{(3 y^{2})}^{2} {\sqrt{7 y}}^{2}}{{(4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.3

Wende die Produktregel auf $3 y^{2}$ an.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{3^{2} {(y^{2})}^{2} {\sqrt{7 y}}^{2}}{{(4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.4

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{3^{2} {(y^{2})}^{2} {\sqrt{7 y}}^{2}}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.7.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 {(y^{2})}^{2} {\sqrt{7 y}}^{2}}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{2 \cdot 2} {\sqrt{7 y}}^{2}}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {\sqrt{7 y}}^{2}}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.3

Schreibe ${\sqrt{7 y}}^{2}$ als $7 y$ um.

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Schritt 3.3.1.7.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 y}$ als ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {(7 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {(7 y)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.7.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {(7 y)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {(7 y)}^{1}}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.3.5

Vereinfache.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} (7 y)}{4^{2} x^{2}}$

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} \cdot 7 y}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.1.7.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{63 y^{4} y}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{63 (y^{1} y^{4})}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{63 y^{1 + 4}}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.7.4.4

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{63 y^{5}}{4^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.1.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{63 y^{5}}{16 x^{2}}$

Schritt 4

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 4.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Schritt 4.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\ln (\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})$ als $\ln (63 y^{5}) - \ln (a x^{b})$ um.

$\ln (63 y^{5}) - \ln (a x^{b}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\ln (63 y^{5})$ als $\ln (63) + \ln (y^{5})$ um.

$\ln (63) + \ln (y^{5}) - \ln (a x^{b}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln (y^{5})$ durch Herausziehen von $5$ aus dem Logarithmus.

$\ln (63) + 5 \ln (y) - \ln (a x^{b}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Schritt 4.2.4

Schreibe $\ln (a x^{b})$ als $\ln (a) + \ln (x^{b})$ um.

$\ln (63) + 5 \ln (y) - (\ln (a) + \ln (x^{b})) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Schritt 4.2.5

Zerlege $\ln (x^{b})$ durch Herausziehen von $b$ aus dem Logarithmus.

$\ln (63) + 5 \ln (y) - (\ln (a) + b \ln (x)) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Schritt 4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache $\ln (63) + 5 \ln (y) - (\ln (a) + b \ln (x))$ .

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Schritt 4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (63) + 5 \ln (y) - \ln (a) - b \ln (x) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Schritt 4.3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \ln (y) + \ln (\frac{63}{a}) - b \ln (x) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Schritt 4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1

Bewege $\ln (\frac{63}{a})$ .

$5 \ln (y) - b \ln (x) + \ln (\frac{63}{a}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Schritt 4.4.2

Stelle $5 \ln (y)$ und $- b \ln (x)$ um.

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{63}{a}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Schritt 4.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{63}{a}) - \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}}) = 0$

Schritt 4.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{\frac{63}{a}}{\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}}}) = 0$

Schritt 4.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{63}{a} \cdot \frac{16 x^{2}}{63 y^{5}}) = 0$

Schritt 4.7.2

Kombinieren.

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{63 (16 x^{2})}{a (63 y^{5})}) = 0$

Schritt 4.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $63$ .

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Schritt 4.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{63 (16 x^{2})}{a (63 y^{5})}) = 0$

Schritt 4.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{16 x^{2}}{a (y^{5})}) = 0$

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}}) = 0$

Schritt 4.8

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.8.1

Subtrahiere $5 \ln (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- b \ln (x) + \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}}) = - 5 \ln (y)$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $\ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- b \ln (x) = - 5 \ln (y) - \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})$

Schritt 4.9

Teile jeden Ausdruck in $- b \ln (x) = - 5 \ln (y) - \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})$ durch $- \ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Teile jeden Ausdruck in $- b \ln (x) = - 5 \ln (y) - \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})$ durch $- \ln (x)$ .

$\frac{- b \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- 5 \ln (y)}{- \ln (x)} + \frac{- \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{- \ln (x)}$

Schritt 4.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.9.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{b \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- 5 \ln (y)}{- \ln (x)} + \frac{- \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{- \ln (x)}$

Schritt 4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 4.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- 5 \ln (y)}{- \ln (x)} + \frac{- \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{- \ln (x)}$

Schritt 4.9.2.2.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{- 5 \ln (y)}{- \ln (x)} + \frac{- \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{- \ln (x)}$

Schritt 4.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.9.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$b = \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{- \ln (x)}$

Schritt 4.9.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$b = \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{\ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{\ln (x)}$