Algebra Beispiele

$\log_{6} (3 x^{2} - 3) - \log_{6} (4 x + 4) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{3 x^{2} - 3}{4 x + 4}) = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 3$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{4 x + 4}) = 0$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{4 x + 4}) = 0$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ heraus.

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{4 x + 4}) = 0$

Schritt 1.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{4 x + 4}) = 0$

Schritt 1.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 x + 4}) = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4$ heraus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x) + 4}) = 0$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x) + 4 (1)}) = 0$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (1)$ heraus.

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x + 1)}) = 0$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x + 1)}) = 0$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{6} (\frac{3 (x - 1)}{4}) = 0$

Schritt 2

Schreibe $\log_{6} (\frac{3 (x - 1)}{4}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{0} = \frac{3 (x - 1)}{4}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 (x - 1)}{4} = 6^{0}$ um.

$\frac{3 (x - 1)}{4} = 6^{0}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4} = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4} = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 (x - 1)) = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 (x - 1)) = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 1 = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot 6^{0}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x - 1 = \frac{4}{3} \cdot 1$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$x - 1 = \frac{4}{3}$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{4}{3} + 1$

Schritt 3.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{4 + 3}{3}$

Schritt 3.4.4

Addiere $4$ und $3$ .

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{7}{3}$

Dezimalform:

$x = 2.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 2 \frac{1}{3}$