Algebra Beispiele

$\log_{x} (8 x - 3) - \log_{x} (4) = 2$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{x} (\frac{8 x - 3}{4}) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{x} (\frac{8 x - 3}{4}) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$x^{2} = \frac{8 x - 3}{4}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$x^{2} \cdot 4 = \frac{8 x - 3}{4} \cdot 4$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$4 x^{2} = \frac{8 x - 3}{4} \cdot 4$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} = \frac{8 x - 3}{4} \cdot 4$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} = 8 x - 3$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 8 x = - 3$

Schritt 3.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 x$ heraus.

$4 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe $- 8$ um als $- 2$ plus $- 6$

$4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3 = 0$

Schritt 3.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3 = 0$

Schritt 3.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1) = 0$

Schritt 3.3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Schritt 3.3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 3.3.5

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.5.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.3.5.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 3.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.6

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.6.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 3.3.6.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 3.3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.5, 1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2}$