Algebra Beispiele

$\frac{x + 2}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x + 2}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2

Um $- \frac{1}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 2 - (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - 1 \cdot 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{2 - x^{2} + 0 - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.4

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{- x^{2} + 2 - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.6

Schreibe $- x^{2} + 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.6.2

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.6.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - x$ und $x - 1$ .

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Schritt 5.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - (x)$ heraus.

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1 + x))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 5.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 5.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 5.1.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + x) \cdot (- 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 + x$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 + x)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 + x}{x^{2} + x + 1}$