Algebra Beispiele

$\sqrt{x + 5} = \sqrt{x^{2} + 5}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 5}}^{2} = {\sqrt{x^{2} + 5}}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{x^{2} + 5}}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{x^{2} + 5}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{x^{2} + 5}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 5)}^{1} = {\sqrt{x^{2} + 5}}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 5 = {\sqrt{x^{2} + 5}}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + 5}}^{2}$ als $x^{2} + 5$ um.

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Schritt 2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 5}$ als ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + 5 = {({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 5 = {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + 5 = {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 5 = {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 5 = {(x^{2} + 5)}^{1}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache.

$x + 5 = x^{2} + 5$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 5 - x^{2} = 5$

Schritt 3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 5 - x^{2} - 5 = 0$

Schritt 3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 5 - x^{2} - 5$ .

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$x - x^{2} + 0 = 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $x - x^{2}$ und $0$ .

$x - x^{2} = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x)$ heraus.

$x (1 - x) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 3.6

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.7

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 3.7.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 3.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.7.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$