Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + x - 6}{x} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x^{2} + x - 6 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 3$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 2, - 3$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 2, - 3$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} + x - 6}{x}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + x - 6}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 9.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 6}{- 6} \geq 0$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 4$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 2 - 6}{- 2} \geq 0$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(1)}^{2} + 1 - 6}{1} \geq 0$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 4$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 - 6}{4} \geq 0$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $3.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 \leq x < 0$ oder $x \geq 2$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 3 \leq x < 0 or x \geq 2$

Intervallschreibweise:

$[- 3, 0) \cup [2, \infty)$

Schritt 14