Algebra Beispiele

$| \frac{2 x + 7}{x - 1} | \geq 1$

Schritt 1

Schreibe $| \frac{2 x + 7}{x - 1} | \geq 1$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$\frac{2 x + 7}{x - 1} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x + 7 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 7$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{2}$

Schritt 1.2.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{7}{2}$

$x = 1$

Schritt 1.2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{7}{2}, 1$

Schritt 1.2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $| \frac{2 x + 7}{x - 1} | - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x + 7}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 1.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{7}{2}$

$- \frac{7}{2} < x < 1$

$x > 1$

Schritt 1.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{7}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{7}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 1.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 6) + 7}{(- 6) - 1} \geq 0$

Schritt 1.2.9.1.3

Die linke Seite $0.\overline{714285}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 1.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{7}{2} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{7}{2} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0) + 7}{(0) - 1} \geq 0$

Schritt 1.2.9.2.3

Die linke Seite $- 7$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 1.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 1.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (4) + 7}{(4) - 1} \geq 0$

Schritt 1.2.9.3.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 1.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{7}{2}$ Wahr

$- \frac{7}{2} < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - \frac{7}{2}$ Wahr

$- \frac{7}{2} < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 1.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{7}{2}$ oder $x > 1$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $\frac{2 x + 7}{x - 1}$ nicht negativ ist.

$\frac{2 x + 7}{x - 1} \geq 1$

Schritt 1.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x + 7}{x - 1} \geq 1$ und ermittle die Schnittmenge mit $x \leq - \frac{7}{2} or x > 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x + 7}{x - 1} \geq 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x + 7}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 1.4.1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.4.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 1.4.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq - \frac{7}{2} or x > 1$ und $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$x \leq - \frac{7}{2} or x > 1$

Schritt 1.5

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$\frac{2 x + 7}{x - 1} < 0$

Schritt 1.6

Löse die Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x + 7 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 7$

Schritt 1.6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 1.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 1.6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Schritt 1.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{2}$

Schritt 1.6.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.6.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{7}{2}$

$x = 1$

Schritt 1.6.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{7}{2}, 1$

Schritt 1.6.7

Bestimme den Definitionsbereich von $| \frac{2 x + 7}{x - 1} | - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.7.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x + 7}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 1.6.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.6.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 1.6.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{7}{2}$

$- \frac{7}{2} < x < 1$

$x > 1$

Schritt 1.6.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{7}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{7}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 1.6.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 6) + 7}{(- 6) - 1} < 0$

Schritt 1.6.9.1.3

Die linke Seite $0.\overline{714285}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 1.6.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{7}{2} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{7}{2} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.6.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0) + 7}{(0) - 1} < 0$

Schritt 1.6.9.2.3

Die linke Seite $- 7$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 1.6.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 1.6.9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (4) + 7}{(4) - 1} < 0$

Schritt 1.6.9.3.3

Die linke Seite $5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 1.6.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{7}{2}$ Falsch

$- \frac{7}{2} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - \frac{7}{2}$ Falsch

$- \frac{7}{2} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 1.6.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{7}{2} < x < 1$

Schritt 1.7

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $\frac{2 x + 7}{x - 1}$ negativ ist.

$- \frac{2 x + 7}{x - 1} \geq 1$

Schritt 1.8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{2 x + 7}{x - 1} \geq 1$ und ermittle die Schnittmenge mit $- \frac{7}{2} < x < 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{2 x + 7}{x - 1} \geq 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x + 7}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 1.8.1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.8.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 1.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $- \frac{7}{2} < x < 1$ und $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$- \frac{7}{2} < x < 1$

Schritt 1.9

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \frac{2 x + 7}{x - 1} \geq 1 & x \leq - \frac{7}{2} or x > 1 \\ - \frac{2 x + 7}{x - 1} \geq 1 & - \frac{7}{2} < x < 1 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $\frac{2 x + 7}{x - 1} \geq 1$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2 x + 7}{x - 1} - 1 \geq 0$

Schritt 2.2

Vereinfache $\frac{2 x + 7}{x - 1} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 x + 7}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 x + 7}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x + 7 - (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 7 - x - - 1}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + 7 - x + 1}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.2.4.3

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{x + 7 + 1}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.2.4.4

Addiere $7$ und $1$ .

$\frac{x + 8}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 8 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 2.5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 8$

$x = 1$

Schritt 2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 8, 1$

Schritt 2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 8}{x - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 8}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 2.8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 10) + 7}{(- 10) - 1} \geq 1$

Schritt 2.10.1.3

Die linke Seite $1.\overline{18}$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0) + 7}{(0) - 1} \geq 1$

Schritt 2.10.2.3

Die linke Seite $- 7$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (4) + 7}{(4) - 1} \geq 1$

Schritt 2.10.3.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 8$ oder $x > 1$

Schritt 3

Löse $- \frac{2 x + 7}{x - 1} \geq 1$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{2 x + 7}{x - 1} - 1 \geq 0$

Schritt 3.2

Vereinfache $- \frac{2 x + 7}{x - 1} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$- \frac{2 x + 7}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$- \frac{2 x + 7}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (2 x + 7) - (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x + 7) - (x - 1)$ heraus.

$\frac{- (2 x + 7 + x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3.2.4.2

Addiere $2 x$ und $x$ .

$\frac{- (3 x + 7 - 1)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3.2.4.3

Subtrahiere $1$ von $7$ .

$\frac{- (3 x + 6)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3.2.4.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 6$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{- (3 (x) + 6)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3.2.4.4.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{- (3 x + 3 \cdot 2)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3.2.4.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 2$ heraus.

$\frac{- (3 (x + 2))}{x - 1} \geq 0$

$\frac{- 1 \cdot 3 (x + 2)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3.2.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 (x + 2)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (x + 2)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3.3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 2$

$x = 1$

Schritt 3.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 2, 1$

Schritt 3.8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{3 (x + 2)}{x - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Setze den Nenner in $\frac{3 (x + 2)}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 3.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 3.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 3.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{2 (- 4) + 7}{(- 4) - 1} \geq 1$

Schritt 3.10.1.3

Die linke Seite $- 0.2$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{2 (0) + 7}{(0) - 1} \geq 1$

Schritt 3.10.2.3

Die linke Seite $7$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{2 (4) + 7}{(4) - 1} \geq 1$

Schritt 3.10.3.3

Die linke Seite $- 5$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 3.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 \leq x < 1$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 8$ oder $- 2 \leq x < 1$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $| \frac{2 x + 7}{x - 1} | - 1$ .

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x + 7}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| \frac{2 (- 10) + 7}{(- 10) - 1} | \geq 1$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $1.\overline{18}$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| \frac{2 (- 5) + 7}{(- 5) - 1} | \geq 1$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $0.5$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| \frac{2 (0) + 7}{(0) - 1} | \geq 1$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $7$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 7.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| \frac{2 (4) + 7}{(4) - 1} | \geq 1$

Schritt 7.4.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Wahr

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 8$ oder $- 2 \leq x < 1$ oder $x > 1$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 8 or - 2 \leq x < 1 or x > 1$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 8] \cup [- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 10