Algebra Beispiele

$\frac{3 x}{x - 1} \leq \frac{x}{x + 4} + 3$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{x}{x + 4}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} \leq 3$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} - 3 \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} - 3$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{3 x}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{x}{x + 4} - 3 \leq 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{x}{x + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 3 \leq 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) (x + 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 x}{x - 1}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{3 x (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} - \frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 3 \leq 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 4}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} - \frac{x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 4)$ um.

$\frac{3 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x (x + 4) - x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x (x + 4) - x (x - 1)$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x (x + 4)$ heraus.

$\frac{x (3 (x + 4)) - x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x (x - 1)$ heraus.

$\frac{x (3 (x + 4)) + x (- (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 (x + 4)) + x (- (x - 1))$ heraus.

$\frac{x (3 (x + 4) - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x + 3 \cdot 4 - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x (3 x + 12 - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x + 12 - x - - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x (3 x + 12 - x + 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$\frac{x (2 x + 12 + 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.5.7

Addiere $12$ und $1$ .

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Schritt 2.6

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)}$ .

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \cdot \frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 3$ und $\frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)}$ .

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} + \frac{- 3 ((x + 4) (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (2 x + 13) - 3 ((x + 4) (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 13 - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 13 - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.3

Bringe $13$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x \cdot x + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 13 x + (- 3 x - 3 \cdot 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x + (- 3 x - 12) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.7

Multipliziere $(- 3 x - 12) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.9.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x (x - 1) - 12 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 12 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.9.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.8.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.8.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.8.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} + 3 x - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.8.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} + 3 x - 12 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.8.2

Subtrahiere $12 x$ von $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} - 9 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.9

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 13 x - 9 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.10

Subtrahiere $9 x$ von $13 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.11

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.9.11.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 2.9.11.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} + 4 (x) + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.11.1.2

Schreibe $4$ um als $- 2$ plus $6$

$\frac{- x^{2} + (- 2 + 6) x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 6 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.11.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.9.11.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.11.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 2) - 6 (- x - 2)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.9.11.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) - 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.11

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- (x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.13

Schreibe $- (x + 2)$ als $- 1 (x + 2)$ um.

$\frac{- 1 (x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 6

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 7

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 2$

$x = 6$

$x = - 4$

$x = 1$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 2, 6, - 4, 1$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 4) (x - 1) = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 10.2.2

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 10.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 10.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 4) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 1$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 6)}{(- 6) - 1} \leq \frac{- 6}{(- 6) + 4} + 3$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $2.\overline{571428}$ ist kleiner als die rechte Seite $6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 3)}{(- 3) - 1} \leq \frac{- 3}{(- 3) + 4} + 3$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $2.25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (0)}{(0) - 1} \leq \frac{0}{(0) + 4} + 3$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (4)}{(4) - 1} \leq \frac{4}{(4) + 4} + 3$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $3.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 12.5.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (8)}{(8) - 1} \leq \frac{8}{(8) + 4} + 3$

Schritt 12.5.3

Die linke Seite $3.\overline{428571}$ ist kleiner als die rechte Seite $3.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 4$ oder $- 2 \leq x < 1$ oder $x \geq 6$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 4 or - 2 \leq x < 1 or x \geq 6$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup [- 2, 1) \cup [6, \infty)$

Schritt 15