Algebra Beispiele

$3 y^{2} + 8 x + 24 y + 40 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 24$ und $c = 8 x + 40$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (8 x + 40))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (8 x + 40)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (8 x + 40)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 (8 x) - 12 \cdot 40}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 12$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 96 x - 12 \cdot 40}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $40$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 96 x - 480}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.6

Subtrahiere $480$ von $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 96 x + 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.7

Faktorisiere $96$ aus $- 96 x + 96$ heraus.

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Schritt 1.3.1.7.1

Faktorisiere $96$ aus $- 96 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{96 (- x) + 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.7.2

Faktorisiere $96$ aus $96$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{96 (- x) + 96 (1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.7.3

Faktorisiere $96$ aus $96 (- x) + 96 (1)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{96 (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe $96 (- x + 1)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (6 (- x + 1))$ um.

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Schritt 1.3.1.8.1

Faktorisiere $16$ aus $96$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (6) (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (6 (- x + 1))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.8.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (6 (- x + 1))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (6 (- x + 1))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{6 (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{6 (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{6 (- x + 1)}}{6}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{6 (- x + 1)}}{6}$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6 (- x + 1)}}{3}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (8 x + 40)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (8 x + 40)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 (8 x) - 12 \cdot 40}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 12$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 96 x - 12 \cdot 40}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $40$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 96 x - 480}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6

Subtrahiere $480$ von $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 96 x + 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.7

Faktorisiere $96$ aus $- 96 x + 96$ heraus.

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Schritt 1.4.1.7.1

Faktorisiere $96$ aus $- 96 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{96 (- x) + 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.7.2

Faktorisiere $96$ aus $96$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{96 (- x) + 96 (1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.7.3

Faktorisiere $96$ aus $96 (- x) + 96 (1)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{96 (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $96 (- x + 1)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (6 (- x + 1))$ um.

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Schritt 1.4.1.8.1

Faktorisiere $16$ aus $96$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (6) (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (6 (- x + 1))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.8.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (6 (- x + 1))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (6 (- x + 1))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{6 (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{6 (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{6 (- x + 1)}}{6}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{6 (- x + 1)}}{6}$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6 (- x + 1)}}{3}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 12 + 2 \sqrt{6 (- x + 1)}}{3}$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $2$ aus $- 12 + 2 \sqrt{6 (- x + 1)}$ heraus.

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Schritt 1.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 6 + 2 \sqrt{6 (- x + 1)}}{3}$

Schritt 1.4.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 6 + 2 \sqrt{6 (- x + 1)}$ heraus.

$y = \frac{2 (- 6 + \sqrt{6 (- x + 1)})}{3}$

Schritt 1.4.6

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$y = \frac{2 (- 1 \cdot 6 + \sqrt{6 (- x + 1)})}{3}$

Schritt 1.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{6 (- x + 1)}$ heraus.

$y = \frac{2 (- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{6 (- x + 1)}))}{3}$

Schritt 1.4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{6 (- x + 1)})$ heraus.

$y = \frac{2 (- 1 (6 - \sqrt{6 (- x + 1)}))}{3}$

Schritt 1.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 (6 - \sqrt{6 (- x + 1)})}{3}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (8 x + 40)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (8 x + 40)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 (8 x) - 12 \cdot 40}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 12$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 96 x - 12 \cdot 40}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $40$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 96 x - 480}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6

Subtrahiere $480$ von $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 96 x + 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.7

Faktorisiere $96$ aus $- 96 x + 96$ heraus.

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Schritt 1.5.1.7.1

Faktorisiere $96$ aus $- 96 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{96 (- x) + 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.7.2

Faktorisiere $96$ aus $96$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{96 (- x) + 96 (1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.7.3

Faktorisiere $96$ aus $96 (- x) + 96 (1)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{96 (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $96 (- x + 1)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (6 (- x + 1))$ um.

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Schritt 1.5.1.8.1

Faktorisiere $16$ aus $96$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (6) (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (6 (- x + 1))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.8.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (6 (- x + 1))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (6 (- x + 1))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{6 (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{6 (- x + 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{6 (- x + 1)}}{6}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{6 (- x + 1)}}{6}$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6 (- x + 1)}}{3}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 12 - 2 \sqrt{6 (- x + 1)}}{3}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 12 - 2 \sqrt{6 (- x + 1)}$ heraus.

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Schritt 1.5.5.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{- 2 \cdot 6 - 2 \sqrt{6 (- x + 1)}}{3}$

Schritt 1.5.5.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 \sqrt{6 (- x + 1)}$ heraus.

$y = \frac{- 2 \cdot 6 - 2 \sqrt{6 (- x + 1)}}{3}$

Schritt 1.5.5.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (6) - 2 (\sqrt{6 (- x + 1)})$ heraus.

$y = \frac{- 2 (6 + \sqrt{6 (- x + 1)})}{3}$

Schritt 1.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 (6 + \sqrt{6 (- x + 1)})}{3}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{2 (6 - \sqrt{6 (- x + 1)})}{3}$

$y = - \frac{2 (6 + \sqrt{6 (- x + 1)})}{3}$

$y = - \frac{2 (6 - \sqrt{6 (- x + 1)})}{3}$

$y = - \frac{2 (6 + \sqrt{6 (- x + 1)})}{3}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{2}{3} \cdot (6 - \sqrt{6 (- x + 1)}))$

$y = - (\frac{2}{3} \cdot (6 + \sqrt{6 (- x + 1)}))$

Schritt 4

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (6 - \sqrt{6 (- x + 1)})$

$y = - (\frac{2}{3} \cdot (6 + \sqrt{6 (- x + 1)}))$

Schritt 5

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (6 - \sqrt{6 (- x + 1)})$

$y = - \frac{2}{3} \cdot (6 + \sqrt{6 (- x + 1)})$

Schritt 6