Algebra Beispiele

$\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1^{2}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Schreibe $\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$16^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$9 x + 5 = 16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 4

Vereinfache $16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$9 x + 5 = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 4.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x + 5 = 4^{1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 4.1.4

Berechne den Exponenten.

$9 x + 5 = 4 ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 4.2

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x + 5 = 4 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x - 1)$

Schritt 4.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + 0 - 1)$

Schritt 4.3.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1)$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x + 5 = 4 x^{2} + 4 \cdot - 1$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$9 x + 5 = 4 x^{2} - 4$

Schritt 5

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x + 5 - 4 x^{2} = - 4$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x - 4 x^{2} = - 4 - 5$

Schritt 6.2

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$9 x - 4 x^{2} = - 9$

Schritt 7

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x - 4 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $9 x - 4 x^{2} + 9$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Stelle $9 x$ und $- 4 x^{2}$ um.

$- 4 x^{2} + 9 x + 9 = 0$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- (4 x^{2}) + 9 x + 9 = 0$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $9 x$ heraus.

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) + 9 = 0$

Schritt 8.1.4

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - (- 9 x)$ heraus.

$- (4 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Schritt 8.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2} - 9 x) - 1 (- 9)$ heraus.

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 8.2.1.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Schritt 8.2.1.1.2

Schreibe $- 9$ um als $3$ plus $- 12$

$- (4 x^{2} + (3 - 12) x - 9) = 0$

Schritt 8.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (4 x^{2} + 3 x - 12 x - 9) = 0$

Schritt 8.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((4 x^{2} + 3 x) - 12 x - 9) = 0$

Schritt 8.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (4 x + 3) - 3 (4 x + 3)) = 0$

Schritt 8.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 3$ .

$- ((4 x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (4 x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 10

Setze $4 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $4 x + 3$ gleich $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Schritt 10.2

Löse $4 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 3$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{4}$

Schritt 11

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (4 x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{3}{4}, 3$

Schritt 13

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$ nicht erfüllen.

$x = 3$