Algebra Beispiele

$N = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a}{r}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{a}{r}} = N$ um.

$\frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{a}{r}} = N$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2 π$ .

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{a}{r}}) = 2 π N$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \sqrt{\frac{a}{r}})$ .

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Schritt 3.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{a}{r}}$ als $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{r}}$ um.

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{r}}) = 2 π N$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{r}}$ mit $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{r}}$ .

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{r}} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{r}})) = 2 π N$

Schritt 3.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{r}}$ mit $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{r}}$ .

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a} \sqrt{r}}{\sqrt{r} \sqrt{r}}) = 2 π N$

Schritt 3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{r}$ mit $1$ .

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a} \sqrt{r}}{{\sqrt{r}}^{1} \sqrt{r}}) = 2 π N$

Schritt 3.1.3.3

Potenziere $\sqrt{r}$ mit $1$ .

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a} \sqrt{r}}{{\sqrt{r}}^{1} {\sqrt{r}}^{1}}) = 2 π N$

Schritt 3.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a} \sqrt{r}}{{\sqrt{r}}^{1 + 1}}) = 2 π N$

Schritt 3.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a} \sqrt{r}}{{\sqrt{r}}^{2}}) = 2 π N$

Schritt 3.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{r}}^{2}$ als $r$ um.

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Schritt 3.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{r}$ als $r^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a} \sqrt{r}}{{(r^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = 2 π N$

Schritt 3.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a} \sqrt{r}}{r^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = 2 π N$

Schritt 3.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a} \sqrt{r}}{r^{\frac{2}{2}}}) = 2 π N$

Schritt 3.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a} \sqrt{r}}{r^{\frac{2}{2}}}) = 2 π N$

Schritt 3.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a} \sqrt{r}}{r^{1}}) = 2 π N$

Schritt 3.1.3.6.5

Vereinfache.

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a} \sqrt{r}}{r}) = 2 π N$

Schritt 3.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$2 π (\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{a r}}{r}) = 2 π N$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2 π}$ mit $\frac{\sqrt{a r}}{r}$ .

$2 π \frac{\sqrt{a r}}{2 π r} = 2 π N$

Schritt 3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π r$ heraus.

$2 π \frac{\sqrt{a r}}{2 π (r)} = 2 π N$

Schritt 3.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{\sqrt{a r}}{2 π r} = 2 π N$

Schritt 3.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{a r}}{r} = 2 π N$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 4.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$2 π N \cdot (r) = \sqrt{a r}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $2 π N$ mit $r$ .

$2 π N r = \sqrt{a r}$

Schritt 5

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{a r} = 2 π N r$ um.

$\sqrt{a r} = 2 π N r$

Schritt 6

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{a r}}^{2} = {(2 π N r)}^{2}$

Schritt 7

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a r}$ als ${(a r)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(a r)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 π N r)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache ${({(a r)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(a r)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(a r)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 π N r)}^{2}$

Schritt 7.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(a r)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 π N r)}^{2}$

Schritt 7.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(a r)}^{1} = {(2 π N r)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Vereinfache.

$a r = {(2 π N r)}^{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache ${(2 π N r)}^{2}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 π N r$ an.

$a r = {(2 π N)}^{2} r^{2}$

Schritt 7.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 π N$ an.

$a r = {(2 π)}^{2} N^{2} r^{2}$

Schritt 7.3.1.1.3

Wende die Produktregel auf $2 π$ an.

$a r = 2^{2} π^{2} N^{2} r^{2}$

Schritt 7.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$a r = 4 π^{2} N^{2} r^{2}$

Schritt 8

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $4 π^{2} N^{2} r^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a r - 4 π^{2} N^{2} r^{2} = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere $r$ aus $a r - 4 π^{2} N^{2} r^{2}$ heraus.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $r$ aus $a r$ heraus.

$r a - 4 π^{2} N^{2} r^{2} = 0$

Schritt 8.2.2

Faktorisiere $r$ aus $- 4 π^{2} N^{2} r^{2}$ heraus.

$r a + r (- 4 π^{2} N^{2} r) = 0$

Schritt 8.2.3

Faktorisiere $r$ aus $r a + r (- 4 π^{2} N^{2} r)$ heraus.

$r (a - 4 π^{2} N^{2} r) = 0$

Schritt 8.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r = 0$

$a - 4 π^{2} N^{2} r = 0$

Schritt 8.4

Setze $r$ gleich $0$ .

$r = 0$

Schritt 8.5

Setze $a - 4 π^{2} N^{2} r$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 8.5.1

Setze $a - 4 π^{2} N^{2} r$ gleich $0$ .

$a - 4 π^{2} N^{2} r = 0$

Schritt 8.5.2

Löse $a - 4 π^{2} N^{2} r = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 8.5.2.1

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 π^{2} N^{2} r = - a$

Schritt 8.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 π^{2} N^{2} r = - a$ durch $- 4 π^{2} N^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 π^{2} N^{2} r = - a$ durch $- 4 π^{2} N^{2}$ .

$\frac{- 4 π^{2} N^{2} r}{- 4 π^{2} N^{2}} = \frac{- a}{- 4 π^{2} N^{2}}$

Schritt 8.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 8.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 π^{2} N^{2} r}{- 4 π^{2} N^{2}} = \frac{- a}{- 4 π^{2} N^{2}}$

Schritt 8.5.2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π^{2} N^{2} r}{π^{2} N^{2}} = \frac{- a}{- 4 π^{2} N^{2}}$

Schritt 8.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π^{2}$ .

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Schritt 8.5.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π^{2} N^{2} r}{π^{2} N^{2}} = \frac{- a}{- 4 π^{2} N^{2}}$

Schritt 8.5.2.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{N^{2} r}{N^{2}} = \frac{- a}{- 4 π^{2} N^{2}}$

Schritt 8.5.2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $N^{2}$ .

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Schritt 8.5.2.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{N^{2} r}{N^{2}} = \frac{- a}{- 4 π^{2} N^{2}}$

Schritt 8.5.2.2.2.3.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{- a}{- 4 π^{2} N^{2}}$

Schritt 8.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$r = \frac{a}{4 π^{2} N^{2}}$

Schritt 8.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $r (a - 4 π^{2} N^{2} r) = 0$ wahr machen.

$r = 0$

$r = \frac{a}{4 π^{2} N^{2}}$

$r = 0$

$r = \frac{a}{4 π^{2} N^{2}}$