Algebra Beispiele

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + x e^{x} - e^{x} = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x} = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x^{2} + e^{x} x$ heraus.

$e^{x} (x^{2} + x) + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x^{2} + x) + e^{x} \cdot - 1$ heraus.

$e^{x} (x^{2} + x - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 3.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 4

Setze $x^{2} + x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} + x - 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} + x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x^{2} + x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.61803398 \dots, - 1.61803398 \dots$