Algebra Beispiele

$f (x) = {| - x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Bestimme den Scheitelpunkt des Absolutwerts. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt für $y = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ gleich $(0, 0)$ .

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Schritt 1.1

Setze das Innere des Absolutwertes $x$ gleich $0$ , um die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen. In diesem Fall: $x = 0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$y = {| 0 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache ${| 0 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$y = 0^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 0$

Schritt 1.3.4

Berechne den Exponenten.

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Absolutwert-Spitze ist $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Betragsfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 2.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 2.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt{{| x |}^{1}}$

Schritt 2.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\sqrt{| x |}$

Schritt 2.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{| x |}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x | \geq 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $| x | \geq 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.3.1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.3.1.2

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.3.1.3

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 0$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 0 & x \geq 0 \\ - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 0$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 0$

Schritt 2.3.3

Löse $- x \geq 0$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1.1

Teile jeden Term in $- x \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x \leq 0$

Schritt 2.3.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 0$ und $x < 0$ .

$x < 0$

Schritt 2.3.4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 2.4

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Für jeden $x$ Wert, es gibt einen $y$ Wert. Wählen Sie einige aus $x$ Werte aus der Domäne. Es wäre sinnvoller, die Werte so zu wählen, dass sie in der Nähe des $x$ Wert des Absolutwert-Scheitelpunkts.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 2^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = {| - 2 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 2$ und $0$ ist $2$ .

$f (- 2) = 2^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 1)$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {| - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$f (- 1) = 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- 1) = 1$

Schritt 3.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 2^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {| 2 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$f (2) = 2^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.4

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(0, 0), (- 2, 1.41), (- 1, 1), (1, 1), (2, 1.41)$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1.41 \\ - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.41 \end{array}$

Schritt 4