Algebra Beispiele

$6 \cdot 2^{x^{2} - 2 x + 2} = 4 \cdot 3^{x^{2} - 2 x + 2}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (6 \cdot 2^{x^{2} - 2 x + 2}) = \ln (4 \cdot 3^{x^{2} - 2 x + 2})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (6 \cdot 2^{x^{2} - 2 x + 2})$ als $\ln (6) + \ln (2^{x^{2} - 2 x + 2})$ um.

$\ln (6) + \ln (2^{x^{2} - 2 x + 2}) = \ln (4 \cdot 3^{x^{2} - 2 x + 2})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (2^{x^{2} - 2 x + 2})$ durch Herausziehen von $x^{2} - 2 x + 2$ aus dem Logarithmus.

$\ln (6) + (x^{2} - 2 x + 2) \ln (2) = \ln (4 \cdot 3^{x^{2} - 2 x + 2})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (4 \cdot 3^{x^{2} - 2 x + 2})$ als $\ln (4) + \ln (3^{x^{2} - 2 x + 2})$ um.

$\ln (6) + (x^{2} - 2 x + 2) \ln (2) = \ln (4) + \ln (3^{x^{2} - 2 x + 2})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (3^{x^{2} - 2 x + 2})$ durch Herausziehen von $x^{2} - 2 x + 2$ aus dem Logarithmus.

$\ln (6) + (x^{2} - 2 x + 2) \ln (2) = \ln (4) + (x^{2} - 2 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (6) + x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (4) + (x^{2} - 2 x + 2) \ln (3)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (6) + x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (4) + x^{2} \ln (3) - 2 x \ln (3) + 2 \ln (3)$

Schritt 6

Bewege $\ln (6)$ .

$x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2) + \ln (6) + 2 \ln (2) = \ln (4) + x^{2} \ln (3) - 2 x \ln (3) + 2 \ln (3)$

Schritt 7

Bewege $\ln (4)$ .

$x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2) + \ln (6) + 2 \ln (2) = x^{2} \ln (3) - 2 x \ln (3) + \ln (4) + 2 \ln (3)$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2) + \ln (6) + 2 \ln (2) - x^{2} \ln (3) + 2 x \ln (3) - \ln (4) - 2 \ln (3) = 0$

Schritt 9

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2) + 2 \ln (2) - x^{2} \ln (3) + 2 x \ln (3) + \ln (\frac{6}{4}) - 2 \ln (3) = 0$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2) + 2 \ln (2) - x^{2} \ln (3) + 2 x \ln (3) + \ln (\frac{2 (3)}{4}) - 2 \ln (3) = 0$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2) + 2 \ln (2) - x^{2} \ln (3) + 2 x \ln (3) + \ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}) - 2 \ln (3) = 0$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2) + 2 \ln (2) - x^{2} \ln (3) + 2 x \ln (3) + \ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}) - 2 \ln (3) = 0$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2) + 2 \ln (2) - x^{2} \ln (3) + 2 x \ln (3) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3) = 0$

Schritt 11

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 12

Setze die Werte $a = \ln (2) - \ln (3)$ , $b = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ und $c = 2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- (- 2 \ln (2) + 2 \ln (3)) \pm \sqrt{{(- 2 \ln (2) + 2 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot ((\ln (2) - \ln (3)) \cdot (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3)))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- (- 2 \ln (2)) - (2 \ln (3)) \pm \sqrt{{(- 2 \ln (2) + 2 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (\ln (2) - \ln (3)) \cdot (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - (2 \ln (3)) \pm \sqrt{{(- 2 \ln (2) + 2 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (\ln (2) - \ln (3)) \cdot (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 2 \ln (2) + 2 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (\ln (2) - \ln (3)) \cdot (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.4

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 2 \ln (2) + 2 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot ((\ln (2) - \ln (3)) \cdot (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3)))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5

Es sei $u = (\ln (2) - \ln (3)) \cdot (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3))$ . Ersetze $u$ für alle $(\ln (2) - \ln (3)) \cdot (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3))$ .

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Schritt 13.5.1

Schreibe ${(- 2 \ln (2) + 2 \ln (3))}^{2}$ als $(- 2 \ln (2) + 2 \ln (3)) (- 2 \ln (2) + 2 \ln (3))$ um.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{(- 2 \ln (2) + 2 \ln (3)) (- 2 \ln (2) + 2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.2

Multipliziere $(- 2 \ln (2) + 2 \ln (3)) (- 2 \ln (2) + 2 \ln (3))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{- 2 \ln (2) (- 2 \ln (2) + 2 \ln (3)) + 2 \ln (3) (- 2 \ln (2) + 2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{- 2 \ln (2) (- 2 \ln (2)) - 2 \ln (2) (2 \ln (3)) + 2 \ln (3) (- 2 \ln (2) + 2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{- 2 \ln (2) (- 2 \ln (2)) - 2 \ln (2) (2 \ln (3)) + 2 \ln (3) (- 2 \ln (2)) + 2 \ln (3) (2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 \ln (2) \ln (2)) - 2 \ln (2) (2 \ln (3)) + 2 \ln (3) (- 2 \ln (2)) + 2 \ln (3) (2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.1.2

Multipliziere $\ln (2)$ mit $\ln (2)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.5.3.1.2.1

Bewege $\ln (2)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (\ln (2) \ln (2))) - 2 \ln (2) (2 \ln (3)) + 2 \ln (3) (- 2 \ln (2)) + 2 \ln (3) (2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $\ln (2)$ mit $\ln (2)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 \ln^{2} (2)) - 2 \ln (2) (2 \ln (3)) + 2 \ln (3) (- 2 \ln (2)) + 2 \ln (3) (2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 2 \ln (2) (2 \ln (3)) + 2 \ln (3) (- 2 \ln (2)) + 2 \ln (3) (2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 2 \cdot (2 \ln (2) \ln (3)) + 2 \ln (3) (- 2 \ln (2)) + 2 \ln (3) (2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) \ln (3) + 2 \ln (3) (- 2 \ln (2)) + 2 \ln (3) (2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) \ln (3) + 2 \cdot (- 2 \ln (3) \ln (2)) + 2 \ln (3) (2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) \ln (3) - 4 \ln (3) \ln (2) + 2 \ln (3) (2 \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) \ln (3) - 4 \ln (3) \ln (2) + 2 \cdot (2 \ln (3) \ln (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.1.9

Multipliziere $\ln (3)$ mit $\ln (3)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.5.3.1.9.1

Bewege $\ln (3)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) \ln (3) - 4 \ln (3) \ln (2) + 2 \cdot (2 (\ln (3) \ln (3))) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $\ln (3)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) \ln (3) - 4 \ln (3) \ln (2) + 2 \cdot (2 \ln^{2} (3)) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) \ln (3) - 4 \ln (3) \ln (2) + 4 \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.2

Subtrahiere $4 \ln (3) \ln (2)$ von $- 4 \ln (2) \ln (3)$ .

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Schritt 13.5.3.2.1

Bewege $\ln (2)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 4 \ln (3) \ln (2) - 4 \ln (3) \ln (2) + 4 \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.5.3.2.2

Subtrahiere $4 \ln (3) \ln (2)$ von $- 4 \ln (3) \ln (2)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 8 \ln (3) \ln (2) + 4 \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 8 \ln (3) \ln (2) + 4 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.6

Faktorisiere $4$ aus $4 \ln^{2} (2) - 8 \ln (3) \ln (2) + 4 \ln^{2} (3) - 4 u$ heraus.

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Schritt 13.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \ln^{2} (2)$ heraus.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) - 8 \ln (3) \ln (2) + 4 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8 \ln (3) \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) + 4 (- 2 \ln (3) \ln (2)) + 4 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \ln^{2} (3)$ heraus.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) + 4 (- 2 \ln (3) \ln (2)) + 4 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 \ln^{2} (2) + 4 (- 2 \ln (3) \ln (2)) + 4 \ln^{2} (3) + 4 (- u)}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 \ln^{2} (2) + 4 (- 2 \ln (3) \ln (2))$ heraus.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2)) + 4 \ln^{2} (3) + 4 (- u)}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2)) + 4 \ln^{2} (3)$ heraus.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3)) + 4 (- u)}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3)) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - u)}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.7

Ersetze alle $u$ durch $(\ln (2) - \ln (3)) \cdot (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3))$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - ((\ln (2) - \ln (3)) \cdot (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3))))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8

Vereinfache.

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Schritt 13.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.8.1.1

Multipliziere $(\ln (2) - \ln (3)) (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3))$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - (\ln (2) (2 \ln (2)) + \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + \ln (2) (- 2 \ln (3)) - \ln (3) (2 \ln (2)) - \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - \ln (3) (- 2 \ln (3))))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.8.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - (2 \ln (2) \ln (2) + \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + \ln (2) (- 2 \ln (3)) - \ln (3) (2 \ln (2)) - \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - \ln (3) (- 2 \ln (3))))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.2.2

Multipliziere $\ln (2)$ mit $\ln (2)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.8.1.2.2.1

Bewege $\ln (2)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - (2 (\ln (2) \ln (2)) + \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + \ln (2) (- 2 \ln (3)) - \ln (3) (2 \ln (2)) - \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - \ln (3) (- 2 \ln (3))))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.2.2.2

Mutltipliziere $\ln (2)$ mit $\ln (2)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - (2 \ln^{2} (2) + \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + \ln (2) (- 2 \ln (3)) - \ln (3) (2 \ln (2)) - \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - \ln (3) (- 2 \ln (3))))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - (2 \ln^{2} (2) + \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (2) \ln (3) - \ln (3) (2 \ln (2)) - \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - \ln (3) (- 2 \ln (3))))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - (2 \ln^{2} (2) + \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (2) \ln (3) - 1 \cdot (2 \ln (3) \ln (2)) - \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - \ln (3) (- 2 \ln (3))))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - (2 \ln^{2} (2) + \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (2) \ln (3) - 2 \ln (3) \ln (2) - \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - \ln (3) (- 2 \ln (3))))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

Schritt 13.8.1.2.7

Multipliziere $\ln (3)$ mit $\ln (3)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.8.1.2.7.1

Bewege $\ln (3)$ .

Schritt 13.8.1.2.7.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $\ln (3)$ .

Schritt 13.8.1.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

Schritt 13.8.1.3

Subtrahiere $2 \ln (3) \ln (2)$ von $- 2 \ln (2) \ln (3)$ .

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Schritt 13.8.1.3.1

Bewege $\ln (2)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - (2 \ln^{2} (2) + \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln (3) \ln (2) - 2 \ln (3) \ln (2) - \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) + 2 \ln^{2} (3)))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.3.2

Subtrahiere $2 \ln (3) \ln (2)$ von $- 2 \ln (3) \ln (2)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - (2 \ln^{2} (2) + \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) - 4 \ln (3) \ln (2) - \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) + 2 \ln^{2} (3)))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - (2 \ln^{2} (2)) - (\ln (2) \ln (\frac{3}{2})) - (- 4 \ln (3) \ln (2)) - (- \ln (3) \ln (\frac{3}{2})) - (2 \ln^{2} (3)))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.5

Vereinfache.

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Schritt 13.8.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - 2 \ln^{2} (2) - (\ln (2) \ln (\frac{3}{2})) - (- 4 \ln (3) \ln (2)) - (- \ln (3) \ln (\frac{3}{2})) - (2 \ln^{2} (3)))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - 2 \ln^{2} (2) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 4 (\ln (3) \ln (2)) - (- \ln (3) \ln (\frac{3}{2})) - (2 \ln^{2} (3)))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.5.3

Multipliziere $- (- \ln (3) \ln (\frac{3}{2}))$ .

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Schritt 13.8.1.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - 2 \ln^{2} (2) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 4 (\ln (3) \ln (2)) + 1 (\ln (3) \ln (\frac{3}{2})) - (2 \ln^{2} (3)))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.5.3.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - 2 \ln^{2} (2) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 4 (\ln (3) \ln (2)) + \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - (2 \ln^{2} (3)))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.1.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - 2 \ln^{2} (2) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 4 (\ln (3) \ln (2)) + \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln^{2} (3))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - 2 \ln^{2} (2) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 4 \ln (3) \ln (2) + \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln^{2} (3))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.2

Subtrahiere $2 \ln^{2} (2)$ von $\ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (- \ln^{2} (2) - 2 \ln (3) \ln (2) + \ln^{2} (3) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 4 \ln (3) \ln (2) + \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln^{2} (3))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.3

Addiere $- 2 \ln (3) \ln (2)$ und $4 \ln (3) \ln (2)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (- \ln^{2} (2) + \ln^{2} (3) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 2 \ln (3) \ln (2) + \ln (3) \ln (\frac{3}{2}) - 2 \ln^{2} (3))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.8.4

Subtrahiere $2 \ln^{2} (3)$ von $\ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{4 (- \ln^{2} (2) - \ln^{2} (3) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 2 \ln (3) \ln (2) + \ln (3) \ln (\frac{3}{2}))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm \sqrt{2^{2} (- \ln^{2} (2) - \ln^{2} (3) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 2 \ln (3) \ln (2) + \ln (3) \ln (\frac{3}{2}))}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 13.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \ln (2) - 2 \ln (3) \pm 2 \sqrt{- \ln^{2} (2) - \ln^{2} (3) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 2 \ln (3) \ln (2) + \ln (3) \ln (\frac{3}{2})}}{2 (\ln (2) - \ln (3))}$

Schritt 14

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{\ln (2) - \ln (3) + \sqrt{- \ln^{2} (2) - \ln^{2} (3) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 2 \ln (3) \ln (2) + \ln (3) \ln (\frac{3}{2})}}{\ln (2) - \ln (3)}, \frac{\ln (2) - \ln (3) - \sqrt{- \ln^{2} (2) - \ln^{2} (3) - \ln (2) \ln (\frac{3}{2}) + 2 \ln (3) \ln (2) + \ln (3) \ln (\frac{3}{2})}}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

Dezimalform:

$x = 1, 1$