Algebra Beispiele

$\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{4 x^{2} - 6}{4 x + 1}) = 1$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} - 6$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) - 6}{4 x + 1}) = 1$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)}{4 x + 1}) = 1$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ heraus.

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x + 1)$

Schritt 4

Vereinfache $5 (4 x + 1)$ .

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x) + 5 \cdot 1$

Schritt 4.2

Multipliziere.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5 \cdot 1$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $20 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 (2 x^{2} - 3) - 20 x = 5$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 - 20 x = 5$

Schritt 6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} - 6 - 20 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$2 (2 x^{2}) - 6 - 20 x = 5$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) - 20 x = 5$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 20 x$ heraus.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ heraus.

$2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Schritt 6.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x)$ heraus.

$2 (2 x^{2} - 3 - 10 x) = 5$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $2 x^{2} - 10 x - 3$ durch $1$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 = \frac{5}{2}$

Schritt 8

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $\frac{5}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2} = 0$

Schritt 8.2

Vereinfache $2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2}$ .

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Schritt 8.2.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Schritt 8.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2 - 5}{2} = 0$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 6 - 5}{2} = 0$

Schritt 8.2.4.2

Subtrahiere $5$ von $- 6$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 11}{2} = 0$

Schritt 8.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x^{2} - 10 x - \frac{11}{2} = 0$

Schritt 9

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 20 x + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{11}{2}$ in den Zähler.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Schritt 9.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Schritt 9.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} - 20 x - 11 = 0$

Schritt 10

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 20$ und $c = - 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 11)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Schritt 12.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

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Schritt 12.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Schritt 12.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 11$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 176}}{2 \cdot 4}$

Schritt 12.1.3

Addiere $400$ und $176$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 12.1.4

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 12.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{20 \pm 24}{2 \cdot 4}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{20 \pm 24}{8}$

Schritt 12.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 24}{8}$ .

$x = \frac{5 \pm 6}{2}$

Schritt 13

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{11}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 14

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$ nicht erfüllen.

$x = \frac{11}{2}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{11}{2}$

Dezimalform:

$x = 5.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 5 \frac{1}{2}$