Algebra Beispiele

$f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$ als Gleichung.

$y = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}} = x$ um.

${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}} = x$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $7$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = x^{7}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${({(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{y + 2}{7})}^{1} = x^{7}$

Schritt 3.3.1.2

Zerlege den Bruch $\frac{y + 2}{7}$ in zwei Brüche.

${(\frac{y}{7} + \frac{2}{7})}^{1} = x^{7}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache.

$\frac{y}{7} + \frac{2}{7} = x^{7}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $\frac{2}{7}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{7} = x^{7} - \frac{2}{7}$

Schritt 3.4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{y}{7} = 7 (x^{7} - \frac{2}{7})$

Schritt 3.4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{y}{7} = 7 (x^{7} - \frac{2}{7})$

Schritt 3.4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 7 (x^{7} - \frac{2}{7})$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Vereinfache $7 (x^{7} - \frac{2}{7})$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 7 x^{7} + 7 (- \frac{2}{7})$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{7}$ in den Zähler.

$y = 7 x^{7} + 7 (\frac{- 2}{7})$

Schritt 3.4.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 7 x^{7} + 7 (\frac{- 2}{7})$

Schritt 3.4.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 7 x^{7} - 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 {({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7} - 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 (\frac{x + 2}{7}) - 2$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 (\frac{x + 2}{7}) - 2$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 (\frac{x + 2}{7}) - 2$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = x + 2 - 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (7 x^{7} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{(7 x^{7} - 2) + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{7 x^{7} + 0}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $7 x^{7}$ und $0$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{7 x^{7}}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{7 x^{7}}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Dividiere $x^{7}$ durch $1$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 x^{7} - 2) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (7 x^{7} - 2) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (7 x^{7} - 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$