Algebra Beispiele

$y = {(\frac{1}{4})}^{x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{1}{4})}^{y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{1}{4})}^{y} = x$ um.

${(\frac{1}{4})}^{y} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{1}{4})}^{y}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.1

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{4})}^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (\frac{1}{4}) = \ln (x)$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\ln (\frac{1}{4})$ als $\ln (1) - \ln (4)$ um.

$y (\ln (1) - \ln (4)) = \ln (x)$

Schritt 2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$y (0 - \ln (4)) = \ln (x)$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$y (0 - \ln (2^{2})) = \ln (x)$

Schritt 2.3.5

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$y (0 - (2 \ln (2))) = \ln (x)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y (0 - 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Schritt 2.3.7

Subtrahiere $2 \ln (2)$ von $0$ .

$y (- 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Faktoren in $y (- 2 \ln (2))$ um.

$- 2 y \ln (2) = \ln (x)$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ durch $- 2 \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ durch $- 2 \ln (2)$ .

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Schritt 2.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{4})}^{x})}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache $2 \ln (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (2^{2})}$

Schritt 4.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (4)}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $2 \ln (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

Schritt 4.3.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Schritt 4.3.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.5.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \log_{4} (x)}}$

Schritt 4.3.5.2

Vereinfache $- \log_{4} (x)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{\log_{4} (x^{- 1})}}$

Schritt 4.3.5.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Schritt 4.3.5.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = 1 x$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$