Algebra Beispiele

$f (x) = 3 (x - 7) + 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 (x - 7) + 5$ als Gleichung.

$y = 3 (x - 7) + 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 (y - 7) + 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 (y - 7) + 5 = x$ um.

$3 (y - 7) + 5 = x$

Schritt 3.2

Vereinfache $3 (y - 7) + 5$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 3 \cdot - 7 + 5 = x$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$3 y - 21 + 5 = x$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 21$ und $5$ .

$3 y - 16 = x$

Schritt 3.3

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x + 16$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x + 16$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x + 16$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{16}{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{16}{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{16}{3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{16}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{16}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 (x - 7) + 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 (x - 7) + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 (x - 7) + 5) = \frac{3 (x - 7) + 5}{3} + \frac{16}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 (x - 7) + 5) = \frac{3 (x - 7) + 5 + 16}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 (x - 7) + 5) = \frac{3 x + 3 \cdot - 7 + 5 + 16}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (3 (x - 7) + 5) = \frac{3 x - 21 + 5 + 16}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 21$ und $5$ .

$f^{- 1} (3 (x - 7) + 5) = \frac{3 x - 16 + 16}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x - 16 + 16$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Addiere $- 16$ und $16$ .

$f^{- 1} (3 (x - 7) + 5) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 5.2.5.2.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 (x - 7) + 5) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 (x - 7) + 5) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 (x - 7) + 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = 3 ((\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) - 7) + 5$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{16}{3} - 7 \cdot \frac{3}{3}) + 5$

Schritt 5.3.3.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{3}) + 5$

Schritt 5.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{16 - 7 \cdot 3}{3}) + 5$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{16 - 21}{3}) + 5$

Schritt 5.3.3.4.2

Subtrahiere $21$ von $16$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}) + 5$

Schritt 5.3.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = 3 (\frac{x}{3} - \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 5.3.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 5.3.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 5.3.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = x + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 5.3.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{3}$ in den Zähler.

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = x + 3 (\frac{- 5}{3}) + 5$

Schritt 5.3.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = x + 3 (\frac{- 5}{3}) + 5$

Schritt 5.3.3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = x - 5 + 5$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{16}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{16}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 (x - 7) + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{16}{3}$