Algebra Beispiele

$\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + x) - \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - x) = - 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x^{2} + x}{x^{2} - x}) = - 1$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x \cdot x + x}{x^{2} - x}) = - 1$

Schritt 1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x \cdot x + x}{x^{2} - x}) = - 1$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x \cdot x + x \cdot 1}{x^{2} - x}) = - 1$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x (x + 1)}{x^{2} - x}) = - 1$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x (x + 1)}{x \cdot x - x}) = - 1$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x (x + 1)}{x \cdot x + x \cdot - 1}) = - 1$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x (x + 1)}{x (x - 1)}) = - 1$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x (x + 1)}{x (x - 1)}) = - 1$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{- 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 1 = {(\frac{1}{2})}^{- 1} (x - 1)$

Schritt 4

Vereinfache ${(\frac{1}{2})}^{- 1} (x - 1)$ .

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Schritt 4.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$x + 1 = 2 (x - 1)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 2 x + 2 \cdot - 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x + 1 = 2 x - 2$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - 2 x = - 2$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$- x + 1 = - 2$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2 - 1$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$- x = - 3$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$