Algebra Beispiele

$\log_{2 x} (2 x^{2} + 6 x - 4) = 2$

Schritt 1

Schreibe $\log_{2 x} (2 x^{2} + 6 x - 4) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

${(2 x)}^{2} = 2 x^{2} + 6 x - 4$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x^{2} + 6 x - 4 = {(2 x)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache ${(2 x)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2 x^{2} + 6 x - 4 = 2^{2} x^{2}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 6 x - 4 = 4 x^{2}$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 6 x - 4 - 4 x^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2} + 6 x - 4$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $6 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 4 = 0$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 2.4.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 2.4.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (2)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 2.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.7

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, 1$