Algebra Beispiele

$v = \frac{4}{3} π r^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4}{3} \cdot (π r^{2}) = v$ um.

$\frac{4}{3} \cdot (π r^{2}) = v$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{1}{\frac{4}{3} π}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{2})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{2}))$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

$\frac{1}{\frac{4 π}{3}} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{2})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{2})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4 π}$ mit $1$ .

$\frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{2})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.1.1.4.1

Faktorisiere $π$ aus $4 π$ heraus.

$\frac{3}{π \cdot 4} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{2})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.4.2

Faktorisiere $π$ aus $\frac{4}{3} \cdot (π r^{2})$ heraus.

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{2}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{2}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (r^{2})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.5

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $r^{2}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 r^{2}}{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{4 r^{2}}{3}$ .

$\frac{3 (4 r^{2})}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.7

Multipliziere.

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Schritt 3.1.1.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 r^{2}}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 r^{2}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.1.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 r^{2}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.1.1.8.2

Dividiere $r^{2}$ durch $1$ .

$r^{2} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} v$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\frac{1}{\frac{4}{3} π} v$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

$r^{2} = \frac{1}{\frac{4 π}{3}} v$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r^{2} = 1 \frac{3}{4 π} v$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4 π}$ mit $1$ .

$r^{2} = \frac{3}{4 π} v$

Schritt 3.2.1.4

Kombiniere $\frac{3}{4 π}$ und $v$ .

$r^{2} = \frac{3 v}{4 π}$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{\frac{3 v}{4 π}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3 v}{4 π}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{3 v}{4 π}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3 v}{π}$ um.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3 v$ heraus.

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 v)}{4 π}}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4 π$ heraus.

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 v)}{2^{2} π}}$

Schritt 5.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (3 v)}{2^{2} π}$ um.

$r = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3 v}{π}}$

Schritt 5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3 v}{π}}$

Schritt 5.3

Schreibe $\sqrt{\frac{3 v}{π}}$ als $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ um.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ mit $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

Schritt 5.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ mit $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

Schritt 5.5.2

Potenziere $\sqrt{π}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

Schritt 5.5.3

Potenziere $\sqrt{π}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

Schritt 5.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

Schritt 5.5.6

Schreibe ${\sqrt{π}}^{2}$ als $π$ um.

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Schritt 5.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{π}$ als $π^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{1}}$

Schritt 5.5.6.5

Vereinfache.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π}$

Schritt 5.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v π}}{π}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3 v π}}{π}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$