Algebra Beispiele

$x \sqrt{x} - 1$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1$

Schritt 2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1$

Schritt 2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + \frac{1}{2}} - 1$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1$

Schritt 2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 1$

Schritt 3

Schreibe $x^{\frac{3}{2}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ um.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 1$

Schritt 4

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 1^{3}$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{\frac{1}{2}}$ und $b = 1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 6.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{1} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x + x^{\frac{1}{2}} + 1^{2})$

Schritt 6.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x + x^{\frac{1}{2}} + 1)$