Algebra Beispiele

$\log_{- 2 x - 3} (3 x^{2} + x - 19) = 2$

Schritt 1

Schreibe $\log_{- 2 x - 3} (3 x^{2} + x - 19) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

${(- 2 x - 3)}^{2} = 3 x^{2} + x - 19$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$3 x^{2} + x - 19 = {(- 2 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache ${(- 2 x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Forme um.

$3 x^{2} + x - 19 = 0 + 0 + {(- 2 x - 3)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Schreibe ${(- 2 x - 3)}^{2}$ als $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ um.

$3 x^{2} + x - 19 = (- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$

Schritt 2.2.3

Multipliziere $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x - 3) - 3 (- 2 x - 3)$

Schritt 2.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x - 3)$

Schritt 2.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.2.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x + 6 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.2.4.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 12 x + 9$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + x - 19 - 4 x^{2} = 12 x + 9$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $12 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + x - 19 - 4 x^{2} - 12 x = 9$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$- x^{2} + x - 19 - 12 x = 9$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere $12 x$ von $x$ .

$- x^{2} - 11 x - 19 = 9$

Schritt 2.4

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} - 11 x - 19 - 9 = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $9$ von $- 19$ .

$- x^{2} - 11 x - 28 = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} - 11 x - 28$ heraus.

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Schritt 2.6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) - 11 x - 28 = 0$

Schritt 2.6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 11 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (11 x) - 28 = 0$

Schritt 2.6.1.3

Schreibe $- 28$ als $- 1 (28)$ um.

$- (x^{2}) - (11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Schritt 2.6.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (11 x)$ heraus.

$- (x^{2} + 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Schritt 2.6.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 11 x) - 1 (28)$ heraus.

$- (x^{2} + 11 x + 28) = 0$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 11 x + 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.6.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $28$ und deren Summe $11$ ist.

$4, 7$

Schritt 2.6.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x + 4) (x + 7)) = 0$

Schritt 2.6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + 4) (x + 7) = 0$

Schritt 2.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 2.8

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.9

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.9.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 2.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x + 4) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, - 7$