Algebra Beispiele

$\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(x - 1) (x^{2} - 1)$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$ mit $\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x - 1})}{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x^{2} - 1})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 1$ aus $(x - 1) (x^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(x - 1) (x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.2.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $x^{3} - x - x^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.4

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - x + 0 + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.5

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x^{3} - x + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{x^{3} - x + 0}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.7

Addiere $x^{3} - x$ und $0$ .

$\frac{x^{3} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.8

Schreibe $x^{3} - x$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - x$ heraus.

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Schritt 4.8.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.8.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.8.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.8.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 4.8.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(x - 1) (x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 5.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 5.2.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 5.2.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x - 1}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $x^{3} - x - x^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x - 1}$

Schritt 5.4

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 + 0 - 1}$

Schritt 5.5

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 - 1}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 0}$

Schritt 5.7

Addiere $x^{3} - x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2}}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.8.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x - x^{2}}$

Schritt 5.8.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 5.8.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x^{2} (x - 1)}$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x - 1)$ heraus.

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{x}$