Algebra Beispiele

$\frac{x}{x^{2} + 1} \leq 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{x^{2} + 1} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - x^{2} - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (x^{2} - x) - 1 (1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.10

Schreibe $- (x^{2} - x + 1)$ als $- 1 (x^{2} - x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - x + 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 9

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 10

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 11

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 11.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 12

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$x = i, - i$

Schritt 13

Der Leitkoeffizient kann nicht ermittelt werden, da $- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ kein Polynom ist.

Kein Polynom

Schritt 14

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ ist immer größer als $0$ .

Keine Lösung