Algebra Beispiele

$f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 1

Die Mutterfunktion ist die einfachste Form des gegebenen Funktionstypen.

$g (x) = x^{2}$

Schritt 2

Die beschriebene Transformation ist von $g (x) = x^{2}$ nach $f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$g (x) = x^{2} \to f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 3

Ermittle die Scheitelform von $f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um $- {(x + 3)}^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = - {(x + 3)}^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $- {(x + 3)}^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{- {(x + 3)}^{2} \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- {(x + 3)}^{2} \cdot 4 + 1}{4}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 {(x + 3)}^{2} + 1}{4}$

Schritt 3.1.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{4} \cdot (- 4 {(x + 3)}^{2} + 1)$

Schritt 3.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{4} \cdot (- 4 {(x + 3)}^{2} + 1)$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 ((x + 3) (x + 3)) + 1)$

Schritt 3.2.1.1.2

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + 1)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + 1)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Schritt 3.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Schritt 3.2.1.1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Schritt 3.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + 1)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 6 x + 9) + 1)$

Schritt 3.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot 9 + 1)$

Schritt 3.2.1.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot 9 + 1)$

Schritt 3.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 36 + 1)$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $- 36$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 35)$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (- 4 x^{2}) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{4} (4 (- x^{2})) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Schritt 3.2.1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (4 (- x^{2})) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Schritt 3.2.1.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 24 x$ heraus.

$- x^{2} + \frac{1}{4} (4 (- 6 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Schritt 3.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{2} + \frac{1}{4} (4 (- 6 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Schritt 3.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} - 6 x + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Schritt 3.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 35$ .

$- x^{2} - 6 x + \frac{- 35}{4}$

Schritt 3.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x^{2} - 6 x - \frac{35}{4}$

Schritt 3.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = - \frac{35}{4}$

Schritt 3.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Schritt 3.2.4.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 3$ als $- - 3$ um.

$d = - - 3$

Schritt 3.2.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$d = 3$

Schritt 3.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{35}{4} - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$e = - \frac{35}{4} - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{35}{4} - \frac{36}{- 4}$

Schritt 3.2.5.2.1.3

Dividiere $36$ durch $- 4$ .

$e = - \frac{35}{4} - - 9$

Schritt 3.2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$e = - \frac{35}{4} + 9$

Schritt 3.2.5.2.2

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e = - \frac{35}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.5.2.3

Kombiniere $9$ und $\frac{4}{4}$ .

$e = - \frac{35}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 35 + 9 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$e = \frac{- 35 + 36}{4}$

Schritt 3.2.5.2.5.2

Addiere $- 35$ und $36$ .

$e = \frac{1}{4}$

Schritt 3.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ ein.

$- {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 3.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 4

Die horizontale Verschiebung hängt vom Wert von $h$ ab. Die horizontale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$f (x) = f (x + h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach links verschoben.

$f (x) = f (x - h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach rechts verschoben.

Horizontale Verschiebung: Linke $3$ Einheiten

Schritt 5

Die vertikale Verschiebung hängt vom Wert von $k$ ab. Die vertikale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$f (x) = f (x) + k$ - Der Graph ist um $k$ Einheiten nach oben verschoben.

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Vertikale Verschiebung: $0.25$ Einheiten nach oben

Schritt 6

Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt, wenn $f (x) = - f (x)$ .

Spiegelung an der x-Achse: Gespiegelt

Schritt 7

Der Graph wird an der y-Achse gespiegelt, wenn $f (x) = f (- x)$ .

Spiegelung an der y-Achse: Keine

Schritt 8

Stauchen und Strecken hängt vom Wert von $a$ ab.

Wenn $a$ größer als $1$ ist: Vertikal gestreckt

Wenn $a$ zwischen $0$ und $1$ liegt: Vertikal gestaucht

Vertikale Stauchung oder Streckung: Keine

Schritt 9

Vergleiche und liste die Transformationen auf.

Mutterfunktion: $g (x) = x^{2}$

Horizontale Verschiebung: Linke $3$ Einheiten

Vertikale Verschiebung: $0.25$ Einheiten nach oben

Spiegelung an der x-Achse: Gespiegelt

Spiegelung an der y-Achse: Keine

Vertikale Stauchung oder Streckung: Keine

Schritt 10