Algebra Beispiele

$\frac{4}{x} - 3 > \frac{2}{x} - 7$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{2}{x}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{4}{x} - 3 - \frac{2}{x} > - 7$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 + \frac{4 - 2}{x} > - 7$

Schritt 1.3

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$- 3 + \frac{2}{x} > - 7$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2}{x} > - 7 + 3$

Schritt 2.2

Addiere $- 7$ und $3$ .

$\frac{2}{x} > - 4$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{2}{x} x = - 4 x$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x} x = - 4 x$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = - 4 x$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 x = 2$ um.

$- 4 x = 2$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = 2$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = 2$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{- 4}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 4$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (1)}{- 4}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{- 2}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich von $4 + \frac{2}{x}$ .

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{2}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 6.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$x > 0$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{- 3} - 3 > \frac{2}{- 3} - 7$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 4.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $- 7.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.25$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{- 0.25} - 3 > \frac{2}{- 0.25} - 7$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 19$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 15$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{2} - 3 > \frac{2}{2} - 7$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $- 1$ ist größer als die rechte Seite $- 6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{1}{2}$ oder $x > 0$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{1}{2} or x > 0$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, \infty)$

Schritt 11