Algebra Beispiele

$m (x) = - \frac{1}{10} (x + 3) (x - 3) {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{1}{10} \cdot ((x + 3) (x - 3) {(x + 1)}^{3})$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{10} \cdot ((x + 3) (x - 3) {(x + 1)}^{3}) = 0$ um.

$- \frac{1}{10} \cdot ((x + 3) (x - 3) {(x + 1)}^{3}) = 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 10$ .

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x + 3) (x - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Vereinfache $- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x + 3) (x - 3) {(x + 1)}^{3}))$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.3.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x (x - 3) + 3 (x - 3)) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.2.1.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.2.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x \cdot x + 3 \cdot - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x^{2} + 3 \cdot - 3) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot ((x^{2} - 9) {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.2.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.3.1.1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 (- \frac{1}{10} \cdot (x^{2} {(x + 1)}^{3} - 9 {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 (- \frac{1}{10} (x^{2} {(x + 1)}^{3}) - \frac{1}{10} (- 9 {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.3

Multipliziere $- \frac{1}{10} (x^{2} {(x + 1)}^{3})$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{10}$ .

$- 10 (- \frac{x^{2}}{10} {(x + 1)}^{3} - \frac{1}{10} (- 9 {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.3.2

Kombiniere ${(x + 1)}^{3}$ und $\frac{x^{2}}{10}$ .

$- 10 (- \frac{{(x + 1)}^{3} x^{2}}{10} - \frac{1}{10} (- 9 {(x + 1)}^{3})) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{10} (- 9 {(x + 1)}^{3})$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$- 10 (- \frac{{(x + 1)}^{3} x^{2}}{10} + 9 (\frac{1}{10}) {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.4.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{10}$ .

$- 10 (- \frac{{(x + 1)}^{3} x^{2}}{10} + \frac{9}{10} {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{9}{10}$ und ${(x + 1)}^{3}$ .

$- 10 (- \frac{{(x + 1)}^{3} x^{2}}{10} + \frac{9 {(x + 1)}^{3}}{10}) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 10 \frac{- {(x + 1)}^{3} x^{2} + 9 {(x + 1)}^{3}}{10} = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.6

Stelle die Faktoren in $- {(x + 1)}^{3} x^{2} + 9 {(x + 1)}^{3}$ um.

$- 10 \frac{- x^{2} {(x + 1)}^{3} + 9 {(x + 1)}^{3}}{10} = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.7.1

Faktorisiere $10$ aus $- 10$ heraus.

$10 (- 1) \frac{- x^{2} {(x + 1)}^{3} + 9 {(x + 1)}^{3}}{10} = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \cdot - 1 \frac{- x^{2} {(x + 1)}^{3} + 9 {(x + 1)}^{3}}{10} = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$- (- x^{2} {(x + 1)}^{3} + 9 {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- (- x^{2} {(x + 1)}^{3}) - (9 {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.9

Multipliziere $- (- x^{2} {(x + 1)}^{3})$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (x^{2} {(x + 1)}^{3}) - (9 {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.9.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} {(x + 1)}^{3} - (9 {(x + 1)}^{3}) = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.10

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$x^{2} {(x + 1)}^{3} - 9 {(x + 1)}^{3} = - 10 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$x^{2} {(x + 1)}^{3} - 9 {(x + 1)}^{3} = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{3}$ aus $x^{2} {(x + 1)}^{3} - 9 {(x + 1)}^{3}$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{3}$ aus $x^{2} {(x + 1)}^{3}$ heraus.

${(x + 1)}^{3} x^{2} - 9 {(x + 1)}^{3} = 0$

Schritt 1.2.4.1.2

Faktorisiere ${(x + 1)}^{3}$ aus $- 9 {(x + 1)}^{3}$ heraus.

${(x + 1)}^{3} x^{2} + {(x + 1)}^{3} \cdot - 9 = 0$

Schritt 1.2.4.1.3

Faktorisiere ${(x + 1)}^{3}$ aus ${(x + 1)}^{3} x^{2} + {(x + 1)}^{3} \cdot - 9$ heraus.

${(x + 1)}^{3} (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

${(x + 1)}^{3} (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.4.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

${(x + 1)}^{3} ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 1.2.4.3.2

Entferne unnötige Klammern.

${(x + 1)}^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 1.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.6

Setze ${(x + 1)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze ${(x + 1)}^{3}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse ${(x + 1)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.8

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 1)}^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 3, 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 1, 0), (- 3, 0), (3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{1}{10} \cdot (((0) + 3) ((0) - 3) {((0) + 1)}^{3})$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{10} \cdot ((0 + 3) ((0) - 3) {((0) + 1)}^{3})$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{10} \cdot ((0 + 3) (0 - 3) {((0) + 1)}^{3})$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{10} \cdot ((0 + 3) (0 - 3) {(0 + 1)}^{3})$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{10} \cdot (((0 + 3) (0 - 3)) {(0 + 1)}^{3})$

Schritt 2.2.5

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{10} \cdot ((0 + 3) (0 - 3) {(0 + 1)}^{3})$

Schritt 2.2.6

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{10} \cdot (((0) + 3) ((0) - 3) {((0) + 1)}^{3})$

Schritt 2.2.7

Vereinfache $- \frac{1}{10} \cdot (((0) + 3) ((0) - 3) {((0) + 1)}^{3})$ .

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Schritt 2.2.7.1

Addiere $0$ und $3$ .

$y = - \frac{1}{10} \cdot (3 ((0) - 3) {((0) + 1)}^{3})$

Schritt 2.2.7.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y = - \frac{1}{10} \cdot (3 \cdot - 3 {((0) + 1)}^{3})$

Schritt 2.2.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$y = - \frac{1}{10} \cdot (- 9 {((0) + 1)}^{3})$

Schritt 2.2.7.4

Addiere $0$ und $1$ .

$y = - \frac{1}{10} \cdot (- 9 \cdot 1^{3})$

Schritt 2.2.7.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{1}{10} \cdot (- 9 \cdot 1)$

Schritt 2.2.7.6

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$y = - \frac{1}{10} \cdot - 9$

Schritt 2.2.7.7

Multipliziere $- \frac{1}{10} \cdot - 9$ .

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Schritt 2.2.7.7.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$y = 9 (\frac{1}{10})$

Schritt 2.2.7.7.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{9}{10}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{9}{10})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 1, 0), (- 3, 0), (3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{9}{10})$

Schritt 4