Algebra Beispiele

$\frac{x + 4}{x^{2} - 1} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x + 4}{x^{2} - 1^{2}} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(x + 1) (x - 1), 1, x - 1$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $x + 1$ ist $x + 1$ selbst.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $x - 1$ ist $x - 1$ selbst.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Das kgV von $x + 1, x - 1, x - 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x + 1) (x - 1)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$ mit $(x + 1) (x - 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$ mit $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 1) (x - 1)$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 4 - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 4 - 5 (x (x - 1) + 1 (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 4 - 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 4 - 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + x - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} + 0 - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.3.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 4 - 5 x^{2} - 5 \cdot - 1 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$x + 4 - 5 x^{2} + 5 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.2

Addiere $4$ und $5$ .

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x + 1) (x - 1)$ heraus.

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x - 5 x^{2} + 9 = x + 1$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 5 x^{2} + 9 - x = 1$

Schritt 4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 x^{2} + 9 - x$ .

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Schritt 4.1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$- 5 x^{2} + 9 + 0 = 1$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $- 5 x^{2} + 9$ und $0$ .

$- 5 x^{2} + 9 = 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x^{2} = 1 - 9$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$- 5 x^{2} = - 8$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x^{2} = - 8$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x^{2} = - 8$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 5}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{8}{5}$

Schritt 4.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{8}{5}}$ .

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Schritt 4.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{8}{5}}$ als $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.5.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.5.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.5.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 4.5.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 4.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 4.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 2}}{5}$

Schritt 4.5.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 4.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 4.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 4.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}, - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}, - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Dezimalform:

$x = 1.26491106 \dots, - 1.26491106 \dots$