Algebra Beispiele

${(x + 1)}^{2} - 2 = \frac{2}{x}$

Schritt 1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 1)}^{2} = \frac{2}{x} + 2$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in ${(x + 1)}^{2} = \frac{2}{x} + 2$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in ${(x + 1)}^{2} = \frac{2}{x} + 2$ mit $x$ .

${(x + 1)}^{2} x = \frac{2}{x} x + 2 x$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Stelle die Faktoren in ${(x + 1)}^{2} x$ um.

$x {(x + 1)}^{2} = \frac{2}{x} x + 2 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x {(x + 1)}^{2} = \frac{2}{x} x + 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x {(x + 1)}^{2} = 2 + 2 x$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x {(x + 1)}^{2} - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$x ((x + 1) (x + 1)) - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x (x + 1) + 1 (x + 1)) - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x (x^{2} + x + x + 1) - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$x (x^{2} + 2 x + 1) - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.5.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.5.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.5.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} + 2 x \cdot x + x - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$x^{3} + 2 (x \cdot x) + x - 2 x = 2$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 x = 2$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} - x = 2$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - x - 2 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x + 2) - (x + 2) = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 4.3.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 4.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.7

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 1, 1$