Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y + 2 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y = - 2$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - \frac{2}{3} x$ an.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3}$

Schritt 2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3}$

Schritt 2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

Schritt 2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.1.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Schritt 2.5.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 2.5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 2.5.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{9}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Schritt 2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ ein.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Schritt 3

Setze ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ für $x^{2} - \frac{2}{3} x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y = - 2$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} + y^{2} - 3 y = - 2$

Schritt 4

Bringe $- \frac{1}{9}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{9}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + y^{2} - 3 y = - 2 + \frac{1}{9}$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 3 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{3}{2}$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{9}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ ein.

${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 6

Setze ${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ für $y^{2} - 3 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y = - 2$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} = - 2 + \frac{1}{9}$

Schritt 7

Bringe $- \frac{9}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{9}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = - 2 + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

Schritt 8

Vereinfache $- 2 + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$ .

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Schritt 8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 8.1.1

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2}{1} + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{36}{36}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{36}{36} + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{36}{36}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{9}{4}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 8.1.7

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9}$

Schritt 8.1.8

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 4$ um.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{4 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9}$

Schritt 8.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{36} + \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9}$

Schritt 8.1.10

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{36} + \frac{9 \cdot 9}{36}$

Schritt 8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36 + 4 + 9 \cdot 9}{36}$

Schritt 8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $36$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 72 + 4 + 9 \cdot 9}{36}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 72 + 4 + 81}{36}$

Schritt 8.4

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 8.4.1

Addiere $- 72$ und $4$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 68 + 81}{36}$

Schritt 8.4.2

Addiere $- 68$ und $81$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{13}{36}$