Algebra Beispiele

$x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 16 x - 12$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - x^{2} - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 1) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Schritt 5

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{3} + 16 x - 12$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 16 x - 12$

Schritt 5.2

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 4 (4 x) - 12$

Schritt 5.3

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 4 (4 x) + 4 (- 3)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{3}) + 4 (4 x)$ heraus.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3} + 4 x) + 4 (- 3)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{3} + 4 x) + 4 (- 3)$ heraus.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3} + 4 x - 3)$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- x^{3} + 4 x - 3$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 6.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3$

Schritt 6.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 1^{3} + 4 \cdot 1 - 3$

Schritt 6.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 3$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 4 \cdot 1 - 3$

Schritt 6.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 1 + 4 - 3$

Schritt 6.1.3.5

Addiere $- 1$ und $4$ .

$3 - 3$

Schritt 6.1.3.6

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$0$

Schritt 6.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} + 4 x - 3}{x - 1}$

Schritt 6.1.5

Dividiere $- x^{3} + 4 x - 3$ durch $x - 1$ .

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Schritt 6.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$3$

Schritt 6.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$

Schritt 6.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 6.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 6.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 6.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 6.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 6.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 6.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 6.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$

Schritt 6.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Schritt 6.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Schritt 6.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Schritt 6.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x - 3$

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Schritt 6.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$
										$0$

Schritt 6.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} - x + 3$

Schritt 6.1.6

Schreibe $- x^{3} + 4 x - 3$ als eine Menge von Faktoren.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 ((x - 1) (- x^{2} - x + 3))$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$

Schritt 7

Faktorisiere $x - 1$ aus $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$ heraus.

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (4 (- x^{2} - x + 3))$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (4 (- x^{2} - x + 3))$ heraus.

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Schritt 9

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 9.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Schritt 9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Schritt 9.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Schritt 10

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 (- x) + 4 \cdot 3)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} + 4 (- x) + 4 \cdot 3)$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 4 \cdot 3)$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 12)$

Schritt 13

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12)$

Schritt 14

Faktorisiere.

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Schritt 14.1

Schreibe $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 14.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 14.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) ((x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 12)$

Schritt 14.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) (x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3))$

Schritt 14.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$(x - 1) ((x - 3) (x^{2} - 4))$

Schritt 14.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x - 1) ((x - 3) (x^{2} - 2^{2}))$

Schritt 14.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 14.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 1) ((x - 3) ((x + 2) (x - 2)))$

Schritt 14.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) ((x - 3) (x + 2) (x - 2))$

Schritt 14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x - 3) (x + 2) (x - 2)$