Algebra Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{3} x {(x^{2} - 25)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{1}{3} \cdot (x {(x^{2} - 25)}^{2})$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} \cdot (x {(x^{2} - 25)}^{2}) = 0$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot (x {(x^{2} - 25)}^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \cdot (x {(x^{2} - 25)}^{2})) = - 3 \cdot 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{1}{3} \cdot (x {(x^{2} - 25)}^{2}))$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Multipliziere $- \frac{1}{3} (x {(x^{2} - 25)}^{2})$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{x}{3} {(x^{2} - 25)}^{2}) = - 3 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.1.2

Kombiniere ${(x^{2} - 25)}^{2}$ und $\frac{x}{3}$ .

$- 3 (- \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} x}{3}) = - 3 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} x}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- {(x^{2} - 25)}^{2} x}{3} = - 3 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- {(x^{2} - 25)}^{2} x}{3} = - 3 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- {(x^{2} - 25)}^{2} x}{3} = - 3 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- (- {(x^{2} - 25)}^{2} x) = - 3 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 ({(x^{2} - 25)}^{2} x) = - 3 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.3.2

Mutltipliziere ${(x^{2} - 25)}^{2}$ mit $1$ .

${(x^{2} - 25)}^{2} x = - 3 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.1.1.3.3

Stelle die Faktoren in ${(x^{2} - 25)}^{2} x$ um.

$x {(x^{2} - 25)}^{2} = - 3 \cdot 0$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$x {(x^{2} - 25)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 25)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.6

Setze ${(x^{2} - 25)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze ${(x^{2} - 25)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} - 25)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse ${(x^{2} - 25)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

${(x^{2} - 5^{2})}^{2} = 0$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

${((x + 5) (x - 5))}^{2} = 0$

Schritt 1.2.6.2.1.3

Wende die Produktregel auf $(x + 5) (x - 5)$ an.

${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.6.2.3

Setze ${(x + 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.3.1

Setze ${(x + 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.6.2.3.2

Löse ${(x + 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.3.2.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 1.2.6.2.3.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 1.2.6.2.4

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.4.1

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.6.2.4.2

Löse ${(x - 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.4.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.6.2.4.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 1.2.6.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 5, 5$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x {(x^{2} - 25)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 5, 5$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 5, 0), (5, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{1}{3} \cdot ((0) {({(0)}^{2} - 25)}^{2})$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (0 {(0^{2} - 25)}^{2})$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (0 {(0^{2} - 25)}^{2})$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} \cdot ((0) {({(0)}^{2} - 25)}^{2})$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $- \frac{1}{3} \cdot ((0) {({(0)}^{2} - 25)}^{2})$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.4.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 1}{3} \cdot ((0) {({(0)}^{2} - 25)}^{2})$

Schritt 2.2.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $(0) {({(0)}^{2} - 25)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 1}{3} \cdot (3 ((0) {({(0)}^{2} - 25)}^{2}))$

Schritt 2.2.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1}{3} \cdot (3 ((0) {({(0)}^{2} - 25)}^{2}))$

Schritt 2.2.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 \cdot ((0) {({(0)}^{2} - 25)}^{2})$

Schritt 2.2.4.2

Multipliziere mit null.

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Schritt 2.2.4.2.1

Mutltipliziere $0$ mit ${({(0)}^{2} - 25)}^{2}$ .

$y = - 1 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 5, 0), (5, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4