Algebra Beispiele

$\frac{1}{4} | x - 3 | + 2 < 1$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{4} \cdot | x - 3 | + 2 < 1$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x - 3 \geq 0$

Schritt 1.2

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 3$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x - 3$ nicht negativ ist.

$\frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x - 3 < 0$

Schritt 1.5

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 3$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x - 3$ negativ ist.

$\frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 3 + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.8.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 3 + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4} + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.8.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3 + 8}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.8.5.2

Addiere $- 3$ und $8$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- x - - 3) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- x + 3) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} (- x) + \frac{1}{4} \cdot 3 + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 3 + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.9.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3 + 2 \cdot 4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3 + 8}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 1.9.5.2

Addiere $3$ und $8$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $\frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1$ , wenn $x \geq 3$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $\frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere $\frac{5}{4}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{4} < 1 - \frac{5}{4}$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{4} < \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

Schritt 2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{4} < \frac{4 - 5}{4}$

Schritt 2.1.1.4

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$\frac{x}{4} < \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{4} < - \frac{1}{4}$

Schritt 2.1.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x < - 1$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < - 1$ und $x \geq 3$ .

Keine Lösung

Schritt 3

Löse $- \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1$ , wenn $x < 3$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $\frac{11}{4}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{x}{4} < 1 - \frac{11}{4}$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x}{4} < \frac{4}{4} - \frac{11}{4}$

Schritt 3.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x}{4} < \frac{4 - 11}{4}$

Schritt 3.1.1.4

Subtrahiere $11$ von $4$ .

$- \frac{x}{4} < \frac{- 7}{4}$

Schritt 3.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{4} < - \frac{7}{4}$

Schritt 3.1.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- x < - 7$

Schritt 3.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- x < - 7$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Teile jeden Term in $- x < - 7$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 3.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 3.1.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.3.1

Dividiere $- 7$ durch $- 1$ .

$x > 7$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > 7$ und $x < 3$ .

Keine Lösung

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

Keine Lösung