Algebra Beispiele

$\frac{\frac{4 x^{3} - 12 x^{2}}{4 x^{2} + 7 x - 2}}{\frac{2 x^{2} - 6 x}{5 x^{2} + 11 x + 2}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 x^{3} - 12 x^{2}}{4 x^{2} + 7 x - 2} \cdot \frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 2

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{3} - 12 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 x^{2} (x) - 12 x^{2}}{4 x^{2} + 7 x - 2} \cdot \frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)}{4 x^{2} + 7 x - 2} \cdot \frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ heraus.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{4 x^{2} + 7 x - 2} \cdot \frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 2 = - 8$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{4 x^{2} + 7 (x) - 2} \cdot \frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $7$ um als $- 1$ plus $8$

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{4 x^{2} + (- 1 + 8) x - 2} \cdot \frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{4 x^{2} - 1 x + 8 x - 2} \cdot \frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x^{2} - 1 x) + 8 x - 2} \cdot \frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 1) + 2 (4 x - 1)} \cdot \frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 1$ .

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 2 = 10$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x$ heraus.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{5 x^{2} + 11 (x) + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $11$ um als $1$ plus $10$

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{5 x^{2} + (1 + 10) x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{5 x^{2} + 1 x + 10 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{5 x^{2} + x + 10 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(5 x^{2} + x) + 10 x + 2}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x (5 x + 1) + 2 (5 x + 1)}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 1$ .

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(5 x + 1) (x + 2)}{2 x^{2} - 6 x}$

Schritt 5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(5 x + 1) (x + 2)}{2 x (x) - 6 x}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(5 x + 1) (x + 2)}{2 x (x) + 2 x (- 3)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (- 3)$ heraus.

$\frac{4 x^{2} (x - 3)}{(4 x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(5 x + 1) (x + 2)}{2 x (x - 3)}$

Schritt 6

Kombinieren.

$\frac{4 x^{2} (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2))}{(4 x - 1) (x + 2) (2 x (x - 3))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2))$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2)))}{(4 x - 1) (x + 2) (2 x (x - 3))}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(4 x - 1) (x + 2) (2 x (x - 3))$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2)))}{2 ((4 x - 1) (x + 2) (x (x - 3)))}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{2} (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2)))}{2 ((4 x - 1) (x + 2) (x (x - 3)))}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{2} (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2))}{(4 x - 1) (x + 2) (x (x - 3))}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2} (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2))$ heraus.

$\frac{x (2 x (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2)))}{(4 x - 1) (x + 2) (x (x - 3))}$

Schritt 8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $x$ aus $(4 x - 1) (x + 2) (x (x - 3))$ heraus.

$\frac{x (2 x (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2)))}{x ((4 x - 1) (x + 2) (x - 3))}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 x (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2)))}{x ((4 x - 1) (x + 2) (x - 3))}$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2))}{(4 x - 1) (x + 2) (x - 3)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (x - 3) ((5 x + 1) (x + 2))}{(4 x - 1) (x + 2) (x - 3)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x ((5 x + 1) (x + 2))}{(4 x - 1) (x + 2)}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x ((5 x + 1) (x + 2))}{(4 x - 1) (x + 2)}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x (5 x + 1)}{4 x - 1}$