Algebra Beispiele

${(\frac{1}{9})}^{a} \cdot {(\frac{1}{3})}^{a} = 3^{16 - a}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln ({(\frac{1}{9})}^{a} \cdot {(\frac{1}{3})}^{a}) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 2

Schreibe $\ln ({(\frac{1}{9})}^{a} \cdot {(\frac{1}{3})}^{a})$ als $\ln ({(\frac{1}{9})}^{a}) + \ln ({(\frac{1}{3})}^{a})$ um.

$\ln ({(\frac{1}{9})}^{a}) + \ln ({(\frac{1}{3})}^{a}) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 3

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{9})}^{a})$ durch Herausziehen von $a$ aus dem Logarithmus.

$a \ln (\frac{1}{9}) + \ln ({(\frac{1}{3})}^{a}) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 4

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{3})}^{a})$ durch Herausziehen von $a$ aus dem Logarithmus.

$a \ln (\frac{1}{9}) + a \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 5

Schreibe $\ln (\frac{1}{9})$ als $\ln (1) - \ln (9)$ um.

$a (\ln (1) - \ln (9)) + a \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 6

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$a (0 - \ln (9)) + a \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 7

Schreibe $\ln (9)$ als $\ln (3^{2})$ um.

$a (0 - \ln (3^{2})) + a \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 8

Zerlege $\ln (3^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$a (0 - (2 \ln (3))) + a \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a (0 - 2 \ln (3)) + a \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 10

Subtrahiere $2 \ln (3)$ von $0$ .

$a (- 2 \ln (3)) + a \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 11

Schreibe $\ln (\frac{1}{3})$ als $\ln (1) - \ln (3)$ um.

$a (- 2 \ln (3)) + a (\ln (1) - \ln (3)) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 12

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$a (- 2 \ln (3)) + a (0 - \ln (3)) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 13

Subtrahiere $\ln (3)$ von $0$ .

$a (- 2 \ln (3)) + a (- \ln (3)) = \ln (3^{16 - a})$

Schritt 14

Zerlege $\ln (3^{16 - a})$ durch Herausziehen von $16 - a$ aus dem Logarithmus.

$a (- 2 \ln (3)) + a (- \ln (3)) = (16 - a) \ln (3)$

Schritt 15

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.1

Stelle $a$ und $- 1$ um.

$- 2 \cdot (a \ln (3)) - 1 \cdot (a \ln (3)) = (16 - a) \ln (3)$

Schritt 15.1.2

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$- 2 a \ln (3) - a \ln (3) = (16 - a) \ln (3)$

Schritt 15.1.3

Subtrahiere $a \ln (3)$ von $- 2 a \ln (3)$ .

$- 3 a \ln (3) = (16 - a) \ln (3)$

Schritt 15.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 a \ln (3) = 16 \ln (3) - a \ln (3)$

Schritt 15.2.2

Stelle $16 \ln (3)$ und $- a \ln (3)$ um.

$- 3 a \ln (3) = - a \ln (3) + 16 \ln (3)$

Schritt 15.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.3.1

Vereinfache $- 3 a \ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.3.1.1

Vereinfache $- 3 \ln (3)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$a (- \ln (3^{3})) = - a \ln (3) + 16 \ln (3)$

Schritt 15.3.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$a (- \ln (27)) = - a \ln (3) + 16 \ln (3)$

Schritt 15.3.1.3

Stelle die Faktoren in $a (- \ln (27))$ um.

$- a \ln (27) = - a \ln (3) + 16 \ln (3)$

Schritt 15.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.4.1.1

Vereinfache $16 \ln (3)$ , indem du $16$ in den Logarithmus ziehst.

$- a \ln (27) = - a \ln (3) + \ln (3^{16})$

Schritt 15.4.1.2

Potenziere $3$ mit $16$ .

$- a \ln (27) = - a \ln (3) + \ln (43046721)$

Schritt 15.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- a \ln (27) + a \ln (3) - \ln (43046721) = 0$

Schritt 15.6

Addiere $\ln (43046721)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- a \ln (27) + a \ln (3) = \ln (43046721)$

Schritt 15.7

Faktorisiere $a$ aus $- a \ln (27) + a \ln (3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.7.1

Faktorisiere $a$ aus $- a \ln (27)$ heraus.

$a (- 1 \ln (27)) + a \ln (3) = \ln (43046721)$

Schritt 15.7.2

Faktorisiere $a$ aus $a \ln (3)$ heraus.

$a (- 1 \ln (27)) + a (\ln (3)) = \ln (43046721)$

Schritt 15.7.3

Faktorisiere $a$ aus $a (- 1 \ln (27)) + a (\ln (3))$ heraus.

$a (- 1 \ln (27) + \ln (3)) = \ln (43046721)$

Schritt 15.8

Schreibe $- 1 \ln (27)$ als $- \ln (27)$ um.

$a (- \ln (27) + \ln (3)) = \ln (43046721)$

Schritt 15.9

Teile jeden Ausdruck in $a (- \ln (27) + \ln (3)) = \ln (43046721)$ durch $- \ln (27) + \ln (3)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.9.1

Teile jeden Ausdruck in $a (- \ln (27) + \ln (3)) = \ln (43046721)$ durch $- \ln (27) + \ln (3)$ .

$\frac{a (- \ln (27) + \ln (3))}{- \ln (27) + \ln (3)} = \frac{\ln (43046721)}{- \ln (27) + \ln (3)}$

Schritt 15.9.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (27) + \ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (- \ln (27) + \ln (3))}{- \ln (27) + \ln (3)} = \frac{\ln (43046721)}{- \ln (27) + \ln (3)}$

Schritt 15.9.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{\ln (43046721)}{- \ln (27) + \ln (3)}$

Schritt 15.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.9.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (27)$ heraus.

$a = \frac{\ln (43046721)}{- \ln (27) + \ln (3)}$

Schritt 15.9.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (3)$ heraus.

$a = \frac{\ln (43046721)}{- \ln (27) - 1 (- \ln (3))}$

Schritt 15.9.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (27) - 1 (- \ln (3))$ heraus.

$a = \frac{\ln (43046721)}{- (\ln (27) - \ln (3))}$

Schritt 15.9.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.9.3.4.1

Schreibe $- (\ln (27) - \ln (3))$ als $- 1 (\ln (27) - \ln (3))$ um.

$a = \frac{\ln (43046721)}{- 1 (\ln (27) - \ln (3))}$

Schritt 15.9.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{\ln (43046721)}{\ln (27) - \ln (3)}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$a = - \frac{\ln (43046721)}{\ln (27) - \ln (3)}$

Dezimalform:

$a = - 8$