Algebra Beispiele

$\log_{2} (x^{2} + 2) - \log_{2} (3 x + 6) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 x + 6}) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 6$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x) + 6}) = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 x + 3 \cdot 2}) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 2$ heraus.

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}) = 0$

Schritt 2

Schreibe $\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x^{2} + 2 = 2^{0} (3 (x + 2))$

Schritt 4

Vereinfache $2^{0} (3 (x + 2))$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} + 2 = 1 (3 (x + 2))$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $3 (x + 2)$ mit $1$ .

$x^{2} + 2 = 3 (x + 2)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 = 3 x + 3 \cdot 2$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} + 2 = 3 x + 6$

Schritt 5

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 - 3 x = 6$

Schritt 6

Faktorisiere $x^{2} + 2 - 3 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x - 1) = 6$

Schritt 7

Vereinfache $(x - 2) (x - 1)$ .

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Schritt 7.1

Multipliziere $(x - 2) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 6$

Schritt 7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 6$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Schritt 7.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Schritt 7.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Schritt 7.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 6$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 6$

Schritt 8

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x + 2 - 6 = 0$

Schritt 9

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Schritt 10

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 10.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 12

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 13

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 1$