Algebra Beispiele

$\log_{2} (x^{2} - 4) - \log_{2} (2 x + 4) = 3$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 4}{2 x + 4}) = 3$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x + 4}) = 3$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 4}) = 3$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4$ heraus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x) + 4}) = 3$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 2 \cdot 2}) = 3$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\frac{x - 2}{2}) = 3$

Schritt 1.4

Schreibe $\frac{x - 2}{2}$ als $(x - 2) \cdot 2^{- 1}$ um.

$\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1}) = 3$

Schritt 1.5

Schreibe $\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1})$ als $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1})$ um.

$\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1}) = 3$

Schritt 1.6

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\log_{2} (x - 2) - \log_{2} (2) = 3$

Schritt 1.7

Die logarithmische Basis $2$ von $2$ ist $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 \cdot 1 = 3$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 = 3$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\log_{2} (x - 2)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{2} (x - 2) = 3 + 1$

Schritt 2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\log_{2} (x - 2) = 4$

Schritt 3

Schreibe $\log_{2} (x - 2) = 4$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{4} = x - 2$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $x - 2 = 2^{4}$ um.

$x - 2 = 2^{4}$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$x - 2 = 16$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 16 + 2$

Schritt 4.3.2

Addiere $16$ und $2$ .

$x = 18$